Question

Решить уравнение: 2sinx-cosx=1-sin2x

Answer 1

2sinx-cosx=1-sin2x

2sinx+sin2x=1+cosx

2sinx+2sinx*cosx=1+cosx

2sinx(1+cosx)=1+cosx

(2sinx-1)(cosx+1)=0

2sinx=1

sinx=1/2

x=(-1)ⁿπ/6+πk, k∈Z

cosx=-1

x=π+2πk, k∈Z

Answer 2

Давайте решим уравнение поэтапно. Уравнение, которое вам дано, выглядит следующим образом:

2sinx - cosx = 1 - sin2x

Шаг 1: Приведение уравнения к более простому виду

Для начала, давайте заменим sin2x на 2sinx*cosx, так как это эквивалентная форма записи:

2sinx - cosx = 1 - 2sinx*cosx

Шаг 2: Переносим все термины на одну сторону уравнения

Теперь, давайте перенесем все термины на одну сторону уравнения, чтобы получить уравнение равное нулю:

2sinx + 2sinx*cosx - cosx - 1 = 0

Шаг 3: Факторизация и упрощение

Для удобства, давайте вынесем общий множитель 2sinx из первых двух членов и -1 из последних двух членов:

2sinx(1 + cosx) - (1 + cosx) = 0

Теперь, давайте факторизуем общий множитель (1 + cosx):

(1 + cosx)(2sinx - 1) = 0

Шаг 4: Решение уравнений-факторов

Теперь у нас есть два уравнения-фактора:

1 + cosx = 0 или 2sinx - 1 = 0

Давайте решим каждое из этих уравнений отдельно:

1. 1 + cosx = 0

Вычитаем 1 с обеих сторон уравнения: cosx = -1 Решение этого уравнения - это x = π + 2πk, где k - целое число.

2. 2sinx - 1 = 0

Добавляем 1 к обеим сторонам уравнения: 2sinx = 1 Делим обе стороны на 2: sinx = 1/2 Решение этого уравнения - это x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk, где k - целое число.

Шаг 5: Проверка решений

Чтобы проверить наши решения, подставим их обратно в исходное уравнение и убедимся, что обе стороны равны.

Для первого уравнения-фактора x = π + 2πk:

2sin(π + 2πk) - cos(π + 2πk) = 1 - sin(2(π + 2πk))

2sinπcos2πk + 2sin2πkcosπ - cosπcos2πk + cos2πk = 1 - sin2πcos2πk - sin2πkcos2πk

0 + 0 + cos2πk + cos2πk = 1 - 0 - 0

2cos2πk = 1

1 = 1

Уравнение выполняется для всех целых k, поэтому решение x = π + 2πk верно.

Для второго уравнения-фактора x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk:

2sin(π/6 + 2πk) - cos(π/6 + 2πk) = 1 - sin2(π/6 + 2πk)

2sin(π/6)cos(2πk) + 2sin(2πk)cos(π/6) - cos(π/6)cos(2πk) + cos(2πk) = 1 - sin2(π/6)cos(2πk) - sin2(2πk)cos(2πk)

1/2 + 0 - √3/2cos(2πk) + cos(2πk) = 1 - 1/4 - 0

1/2 + 0 - √3/2cos(2πk) + cos(2πk) = 3/4

2cos(2πk) - √3/2cos(2πk) = 1/4

(4 - √3)cos(2πk) = 1/4

cos(2πk) = 1/(4 - √3)

Так как cos(2πk) имеет период 2π, решение существует только при 2πk = 0.

Поэтому решение x = π/6 + 2πk или x = 5π/6 + 2πk не подходит для данного уравнения.

Ответ:

Решения уравнения 2sinx - cosx = 1 - sin2x: x = π + 2πk, где k - целое число.