Question

Три трехзначных числа, в записи которых использованы все цифры, кроме нуля, дают в сумме 1665 . В каждом из чисел поменяли местами первую и последнюю цифрв и получили три новых ирехзначных числа. Чему равна сумма полученных чисел?

Answer 1

655+255+755=1665
556+552+557= 1665

Answer 2

Дано условие: три трехзначных числа, в записи которых использованы все цифры, кроме нуля, дают в сумме 1665. Затем мы меняем местами первую и последнюю цифры каждого из чисел и получаем три новых четырехзначных числа. Нам нужно найти сумму полученных чисел.

Давайте разберемся с этой задачей шаг за шагом.

Шаг 1: Разложение суммы исходных трехзначных чисел

Пусть исходные трехзначные числа будут ABC, DEF и GHI, где каждая заглавная буква представляет цифру от 1 до 9. Мы знаем, что сумма этих чисел равна 1665:

ABC + DEF + GHI = 1665

Шаг 2: Перестановка цифр в каждом числе

Мы меняем местами первую и последнюю цифры каждого числа. После этой перестановки, новые числа будут:

CBA, FED и IHG.

Шаг 3: Нахождение суммы новых чисел

Теперь мы должны найти сумму этих новых четырехзначных чисел. Пусть эта сумма будет равна S:

CBA + FED + IHG = S

Шаг 4: Решение уравнения

Мы можем заметить, что каждая цифра от 1 до 9 будет использована один раз в каждом числе. Это означает, что каждая цифра будет использована три раза среди чисел ABC, DEF, GHI и новых чисел CBA, FED, IHG.

Таким образом, сумма цифр от 1 до 9 в исходных числах должна быть равна сумме цифр от 1 до 9 в новых числах:

A + B + C + D + E + F + G + H + I = C + B + A + F + E + D + I + H + G

Теперь мы можем переписать уравнение с использованием новых чисел CBA, FED, IHG:

C + B + A + F + E + D + I + H + G = S

Шаг 5: Поиск суммы новых чисел

Теперь мы имеем два уравнения:

ABC + DEF + GHI = 1665 C + B + A + F + E + D + I + H + G = S

Мы можем объединить эти два уравнения, чтобы решить систему уравнений и найти значение S.

ABC + DEF + GHI + C + B + A + F + E + D + I + H + G = 1665 + S

Шаг 6: Упрощение уравнения

Мы можем сгруппировать по цифрам и упростить уравнение:

100A + 10B + C + 100D + 10E + F + 100G + 10H + I + C + B + A + F + E + D + I + H + G = 1665 + S

101A + 11B + 2C + 101D + 11E + 2F + 101G + 11H + 2I = 1665 + S

Шаг 7: Анализ уравнения

Мы видим, что левая сторона уравнения состоит из сумм трехзначных чисел ABC, DEF, GHI и суммы новых чисел CBA, FED, IHG. Правая сторона уравнения состоит из суммы исходных трехзначных чисел 1665 и суммы новых чисел S.

Теперь мы можем заметить, что уравнение 101A + 11B + 2C + 101D + 11E + 2F + 101G + 11H + 2I = 1665 + S может быть записано как:

101(A + D + G) + 11(B + E + H) + 2(C + F + I) = 1665 + S

Шаг 8: Дальнейший анализ уравнения

Мы знаем, что сумма цифр от 1 до 9 равна 45. Заметим, что в левой части уравнения каждая цифра умножается на число, которое на 10 больше, чем сама цифра. Из этого следует, что сумма в левой части будет на 45 больше, чем сумма цифр от 1 до 9.

Таким образом, уравнение 101(A + D + G) + 11(B + E + H) + 2(C + F + I) = 1665 + S может быть записано как:

45 + 101(A + D + G) + 11(B + E + H) + 2(C + F + I) = 1665 + S

Шаг 9: Нахождение значения S

Теперь мы можем решить уравнение, чтобы найти значение S:

45 + 101(A + D + G) + 11(B + E + H) + 2(C + F + I) = 1665 + S

S = (45 + 101(A + D + G) + 11(B + E + H) + 2(C + F + I)) - 1665

Таким образом, мы можем вычислить значение S, подставив значения A, B, C, D, E, F, G, H, I и вычислив сумму.

Пожалуйста, предоставьте значения цифр A, B, C, D, E, F, G, H, I, чтобы я мог вычислить сумму полученных чисел.