Question

Sin4x+ctg2x*cos4x=cos2x

Answer 1

sin4x  =  3 - 4cos2x + cos4x8cos4x  =  3 + 4cos2x + cos4x8

Answer 2

Давайте посмотрим на уравнение:

\[ \sin(4x) \cdot \cot^2(2x) \cdot \cos(4x) = \cos(2x) \]

Для решения данного уравнения, мы можем воспользоваться тригонометрическими тождествами. Давайте разберемся с каждым из слагаемых.

1. \(\sin(4x)\): Мы можем использовать тригонометрическое тождество для удвоенного угла: \[ \sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha) \] Подставим \(\alpha = 2x\): \[ \sin(4x) = 2\sin(2x)\cos(2x) \]

2. \(\cot^2(2x)\): Мы знаем, что \(\cot(\alpha) = \frac{1}{\tan(\alpha)}\), а также что \(\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\). Подставим \(\alpha = 2x\): \[ \cot(2x) = \frac{1}{\tan(2x)} = \frac{1}{\frac{\sin(2x)}{\cos(2x)}} = \frac{\cos(2x)}{\sin(2x)} \] Теперь возведем в квадрат: \[ \cot^2(2x) = \frac{\cos^2(2x)}{\sin^2(2x)} \]

3. \(\cos(4x)\): Это уже учтено в первом тригонометрическом тождестве для \(\sin(4x)\).

Теперь подставим эти результаты в уравнение:

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot \frac{\cos^2(2x)}{\sin^2(2x)} \cdot \cos(4x) = \cos(2x) \]

Упростим уравнение:

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot \cos^2(2x) = \sin^2(2x) \]

Теперь используем тождество \(\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1\):

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) \cdot (1 - \sin^2(2x)) = \sin^2(2x) \]

Раскроем скобки и упростим:

\[ 2\sin(2x)\cos(2x) - 2\sin^3(2x)\cos(2x) = \sin^2(2x) \]

Теперь мы видим, что у нас есть уравнение с нелинейными членами. Для продолжения, возможно, потребуется использовать дополнительные тригонометрические тождества или численные методы для нахождения решения.