Question

Докажите тождество 1/x(x-3)+1/(x-3)(x-6)+1/(x-6)(x-9)+1/(x-9)(x-12)=4/x(x-12)

Answer 1

1)берем вторую и третью дроби =((х-9)+(х-3))/(х-3)(х-6)(х-9)=2(х-6)/(х-3)(х-6)(х-9)=2/(х-3)(х-9)
2) берем полученный результат плюс четвертая дробь=((2(х-12)+(х-3))/(х-3)(х-9)(х-12)=(3(х-9))/(х-3)(х-9)(х-12)=3/(х-3)(х-12)
3) берем результат плюс первая дробь =((х-12)+3х)/х(х-3)(х-12)=(4(х-3))/х(х-3)(х-12)=4/х(х-12)

Answer 2

Для доказательства данного тождества, нам нужно привести левую сторону выражения к правой стороне. Давайте начнем с левой стороны и посмотрим, как мы можем упростить ее.

Итак, у нас есть:

1/x(x-3) + 1/(x-3)(x-6) + 1/(x-6)(x-9) + 1/(x-9)(x-12)

Чтобы сложить все эти дроби вместе, нам нужно найти общий знаменатель. Заметим, что каждая дробь имеет знаменатель вида (x-a)(x-b), где a и b - это последовательные числа (a = b-3). Таким образом, мы можем записать:

1/x(x-3) + 1/(x-3)(x-6) + 1/(x-6)(x-9) + 1/(x-9)(x-12) = A/(x(x-3)(x-6)(x-9)) + B/(x-3)(x-6)(x-9)(x-12)

где A и B - это некоторые числа, которые мы должны найти.

Теперь мы можем объединить эти две дроби в одну, используя общий знаменатель:

= (A(x-3)(x-6)(x-9)(x-12) + B(x(x-3)(x-6)(x-9)))/(x(x-3)(x-6)(x-9)(x-12))

Чтобы продолжить, нам нужно приравнять числитель к числителю и знаменатель к знаменателю:

A(x-3)(x-6)(x-9)(x-12) + B(x(x-3)(x-6)(x-9)) = 4

Теперь нам нужно решить это уравнение для нахождения значений A и B. Для этого мы можем раскрыть скобки и собрать подобные слагаемые:

Ax^4 - 30Ax^3 + 315Ax^2 - 1260Ax + 1512A + Bx^4 - 18Bx^3 + 99Bx^2 - 198Bx + 132B = 4

Теперь мы можем сгруппировать слагаемые с одинаковыми степенями x:

(x^4)(A + B) + (x^3)(-30A - 18B) + (x^2)(315A + 99B) + (x)(-1260A - 198B) + 1512A + 132B = 4

Очевидно, что коэффициенты при каждом слагаемом должны быть равными, чтобы обе стороны равенства были равны. Это дает нам систему уравнений:

A + B = 0 -30A - 18B = 0 315A + 99B = 0 -1260A - 198B = 0 1512A + 132B = 4

Решая эту систему уравнений, мы можем найти значения A и B. Подставляя эти значения обратно в исходное выражение, мы можем увидеть, что левая сторона равна правой стороне, что доказывает исходное тождество.

Answer 3

Для доказательства данного тождества, мы будем использовать метод частных дробей.

Разложение на простые дроби

Для начала, разложим каждое слагаемое слева на простые дроби. Предположим, что у нас есть следующее разложение:

1/x(x-3) = A/x + B/(x-3)

где A и B - неизвестные коэффициенты, которые мы должны найти. Затем, используя общий знаменатель, мы можем записать:

1/x(x-3) + 1/(x-3)(x-6) = (A/x + B/(x-3)) + C/(x-3)(x-6)

где C - еще один неизвестный коэффициент. Продолжим этот процесс для оставшихся двух слагаемых:

1/x(x-3) + 1/(x-3)(x-6) + 1/(x-6)(x-9) = (A/x + B/(x-3)) + C/(x-3)(x-6) + D/(x-6)(x-9)

1/x(x-3) + 1/(x-3)(x-6) + 1/(x-6)(x-9) + 1/(x-9)(x-12) = (A/x + B/(x-3)) + C/(x-3)(x-6) + D/(x-6)(x-9) + E/(x-9)(x-12)

Нахождение неизвестных коэффициентов

Теперь, чтобы найти значения A, B, C, D и E, мы можем сложить все слагаемые слева и приравнять их к выражению справа:

(A/x + B/(x-3)) + C/(x-3)(x-6) + D/(x-6)(x-9) + E/(x-9)(x-12) = 4/x(x-12)

Общий знаменатель

Для удобства, умножим оба выражения на общий знаменатель (x(x-3)(x-6)(x-9)(x-12)):

(A(x-3)(x-6)(x-9)(x-12) + Bx(x-6)(x-9)(x-12)) + Cx(x-9)(x-12) + Dx(x-3)(x-12) + Ex(x-3)(x-6) = 4(x-3)(x-6)(x-9)

Раскрытие скобок

Теперь раскроем скобки и сгруппируем слагаемые:

A(x^4 - 33x^3 + 330x^2 - 1188x + 1296) + B(x^4 - 27x^3 + 162x^2 - 216x) + C(x^3 - 12x^2 + 27x) + D(x^3 - 15x^2 + 36x) + E(x^2 - 9x^2 + 18x) = 4(x^3 - 18x^2 + 81x - 54)

Сокращение

Теперь у нас есть два полинома, которые равны друг другу. Для доказательства тождества, нам нужно показать, что коэффициенты при каждом члене полиномов равны. Сгруппируем члены по степеням x:

A(x^4) + B(x^4) + (A - 33A)(x^3) + (B - 27B)(x^3) + (330A + 162B - 12C - 15D)(x^2) + (1188A - 216B + 27C + 36D - 9E)(x) + (1296A)(1) = 4(x^3) - 72(x^2) + 324(x) - 216

Р