Question

На оси координат найдите точку M,расстояние от которой до точки ,A( 4;-3;0) равно 5

Answer 1

Координаты точки М могут быть: М1( х; 0; 0;); М2(0;y;0); М3(0;0;z),
Расстояние между М1 и А: √((4-х)²+(-3-0)²+(0-0)²)=√(16-8х +х²+9)  =5,
х²-8х+25 =25,  х(х-8)=0, т е таких точек 2 : М11( 0,0,0) и М12(8,0,0,),
Расстояние между М2 и А - √((4-0)²+(-3-y)²+(0-0)²)=√(16+9+6y+y²) =5,
y²+6y+25 =25, y(y+6)=0 , т е таких точек 2: М21(0,0,0) и М22(0,-6,0),
Расстояние между М3 и А : √((4-0)²+(-3-0)²+(0-z)²) =√(16+9+z²) =5,
25+z²=25, т е М3(0,0,0,), М11, М21, М3- это одна  та же точка, 
Ответ: М1( 8,0,0),  M2(0,-6,0), M3(0,0,0)

Answer 2

Для нахождения точки \( M \) на оси координат, расстояние от которой до точки \( A(4, -3, 0) \) равно 5, мы можем воспользоваться формулой для расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве.

Формула расстояния между двумя точками \( (x_1, y_1, z_1) \) и \( (x_2, y_2, z_2) \) в трехмерном пространстве выглядит следующим образом:

\[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2} \]

В данном случае мы знаем, что \( d = 5 \), \( A(4, -3, 0) \) и \( M \) лежит на оси координат, значит координаты точки \( M \) будут \( (x, y, z) \). Подставим значения в формулу:

\[ 5 = \sqrt{(x - 4)^2 + (y + 3)^2 + z^2} \]

Теперь, чтобы найти координаты точки \( M \), решим уравнение относительно \( x, y \) и \( z \). Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

\[ 25 = (x - 4)^2 + (y + 3)^2 + z^2 \]

Раскроем скобки:

\[ 25 = x^2 - 8x + 16 + y^2 + 6y + 9 + z^2 \]

Упорядочим члены уравнения:

\[ x^2 + y^2 + z^2 - 8x + 6y + 25 = 0 \]

Теперь мы имеем уравнение с тремя переменными. Это уравнение представляет собой уравнение сферы в трехмерном пространстве, и его решение даст нам координаты точки \( M \).