Question

Sin5x*cos2x-sin2x*cos5x=1/2

Answer 1

$sin5x*cos2x-sin2x*cos5x=\frac{1}{2}\\sin3x=\frac{1}{2}\\3x_1=\frac{\pi}{6}+2\pi n\ ;3x_2=\frac{5\pi}{6}+2\pi n\ ;n\in Z\\x_1=\frac{\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3}\ ;x_1=\frac{5\pi}{18}+\frac{2\pi n}{3};n\in Z$

Answer 2

Давайте разберем данное выражение по шагам. Используя тригонометрические тождества, мы можем переписать выражение sin5x*cos2x - sin2x*cos5x в другой форме.

Используем формулу произведения синусов:

sin(a)*cos(b) = 1/2 * [ sin(a + b) + sin(a - b) ]

Применяя эту формулу к выражению sin5x*cos2x, мы получаем:

sin5x*cos2x = 1/2 * [ sin(5x + 2x) + sin(5x - 2x) ] = 1/2 * [ sin(7x) + sin(3x) ]

Аналогично, применяя формулу произведения синусов к выражению sin2x*cos5x, мы получаем:

sin2x*cos5x = 1/2 * [ sin(2x + 5x) + sin(2x - 5x) ] = 1/2 * [ sin(7x) + sin(-3x) ]

Используем формулу синуса от отрицательного угла:

sin(-x) = -sin(x)

Применяя эту формулу к sin(-3x), мы получаем:

sin(-3x) = -sin(3x)

Теперь мы можем переписать исходное выражение sin5x*cos2x - sin2x*cos5x:

sin5x*cos2x - sin2x*cos5x = 1/2 * [ sin(7x) + sin(3x) ] - 1/2 * [ sin(7x) - sin(3x) ] = 1/2 * [ sin(7x) + sin(3x) - sin(7x) + sin(3x) ] = 1/2 * [ 2*sin(3x) ] = sin(3x)

Таким образом, исходное выражение sin5x*cos2x - sin2x*cos5x равно sin(3x), а не 1/2.