Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения √x*y'=√1-y^2

Answer 1

$\sqrt{x} y'= \sqrt{1-y^2} \\ \\ y'= \frac{\sqrt{1-y^2} }{\sqrt{x} } \\ \\ \\ \frac{dy}{dx}= \frac{\sqrt{1-y^2} }{\sqrt{x} }$

Это уравнение с разделяющимися переменными

$\frac{dy}{\sqrt{1-y^2} } = \frac{dx}{\sqrt{x} }$

Интегрируя, получаем

$\arcsin y=2 \sqrt{x}+C \\ \\ y=\sin(2 \sqrt{x} +C)$

Answer 2

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[ \sqrt{x} \cdot y' = \sqrt{1 - y^2} \]

Чтобы найти общее решение, давайте сделаем несколько шагов.

1. Возведем обе стороны уравнения в квадрат:

\[ x \cdot (y')^2 = 1 - y^2 \]

2. Теперь выразим \( (y')^2 \) и подставим в уравнение:

\[ (y')^2 = \frac{1 - y^2}{x} \]

3. Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

\[ y' = \pm \frac{\sqrt{1 - y^2}}{\sqrt{x}} \]

4. Теперь мы можем разделить переменные и проинтегрировать обе стороны уравнения:

\[ \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \pm \frac{dx}{\sqrt{x}} \]

Интегрируем обе стороны. Для левой стороны сделаем замену переменной \( y = \sin(\theta) \), тогда \( \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = d\theta \). Для правой стороны проведем стандартную интеграцию:

\[ \int \frac{dy}{\sqrt{1 - y^2}} = \int \pm \frac{dx}{\sqrt{x}} \]

\[ \arcsin(y) = \pm 2\sqrt{x} + C \]

где \( C \) — константа интегрирования.

Таким образом, общее решение дифференциального уравнения:

\[ y = \sin\left(\pm 2\sqrt{x} + C\right) \]

где \( C \) — произвольная константа.