Question

Найти площадь фигуры ограниченной кривой y=ax2+px+q и прямой y=kx+b y= - x2-2x-1 y=-x-3

Answer 1

Площадь равна интегралу (-x²-2x-1)- (-x-3) = -х² - х +2.
∫(-х² - х +2)dx = (-x³/3)-(x²/2) + 2x.
Найдём границы фигуры по оси х.
Приравняем  -x² - 2x - 1 = -x - 3,
                     -x² - x + 2 = 0.
Квадратное уравнение, решаем относительно x: 
Ищем дискриминант:D=(-1)^2-4*(-1)*2=1-4*(-1)*2=1-(-4)*2=1-(-4*2)=1-(-8)=1+8=9;
Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:x_1=(√9-(-1))/(2*(-1))=(3-(-1))/(2*(-1))=(3+1)/(2*(-1))=4/(2*(-1))=4/(-2)=-4/2=-2;x_2=(-√9-(-1))/(2*(-1))=(-3-(-1))/(2*(-1))=(-3+1)/(2*(-1))=-2/(2*(-1))=-2/(-2)=-(-2/2)=-(-1)=1.

Получили 2 точки х = -2 и х = 1.
Подставляем пределы в интеграл:
(-x³/3)-(x²/2) + 2x|(-2;1)= (-1/3)-(1/2)+2 - (8/3)-(4/2)-4) =
(7/6)-(-20/6) = 27/6 = 9/2 = 4,5.

Answer 2

Для начала, давайте найдем точки пересечения кривой y=ax^2+px+q и прямых y=kx+b и y=-x-3.

1) Пересечение кривой и прямой y=kx+b: Подставляем уравнение кривой в уравнение прямой: ax^2+px+q = kx+b

Переносим все в одну сторону: ax^2 + (p-k)x + (q-b) = 0

Для нахождения точек пересечения, решаем это уравнение второй степени. Пусть x1 и x2 будут корнями этого уравнения.

2) Пересечение кривой и прямой y=-x-3: Подставляем уравнение кривой в уравнение прямой: ax^2+px+q = -x-3

Переносим все в одну сторону: ax^2 + (p+1)x + (q+3) = 0

Решаем это уравнение второй степени и находим корни x3 и x4.

Теперь, чтобы найти площадь фигуры, ограниченной кривой и прямыми, нужно найти площадь между этими кривыми на интервалах (x1, x2) и (x3, x4).

Площадь под кривой y=ax^2+px+q на интервале (x1, x2) можно найти с помощью определенного интеграла: S1 = ∫[x1, x2] (ax^2+px+q) dx

Площадь под кривой y=-x-3 на интервале (x3, x4) можно найти аналогично: S2 = ∫[x3, x4] (-x-3) dx

Искомая площадь фигуры будет равна сумме этих двух площадей: S = S1 + S2

Для нахождения площадей S1 и S2 необходимо знать значения коэффициентов a, p, q, k и b.