Question

Вычисли интеграл s s cosxdx если s в пределах от2n до- n

Answer 1

$\\ \int_{2\pi}^{-\pi}\cos{x}\mathrm dx=\sin{x}|_{2\pi}^{-\pi}=(\sin({-\pi})-\sin({2\pi}))=0-0=0$

Answer 2

Итак, у нас есть определенный интеграл:

\[ \int_{2n}^{n} s \cdot \cos(x) \, dx \]

Чтобы вычислить этот интеграл, мы можем использовать формулу интегрирования по частям, которая гласит:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \]

В данном случае, давайте выберем:

\[ u = s \quad \Rightarrow \quad du = ds \] \[ dv = \cos(x) \, dx \quad \Rightarrow \quad v = \int \cos(x) \, dx = \sin(x) \]

Теперь вычислим производные:

\[ du = ds \] \[ v = \sin(x) \]

Затем применим формулу интегрирования по частям:

\[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] \[ \int s \cdot \cos(x) \, dx = s \cdot \sin(x) - \int \sin(x) \, ds \]

Теперь мы можем вычислить данную интегральную формулу на заданных пределах (от \(2n\) до \(n\)):

\[ \int_{2n}^{n} s \cdot \cos(x) \, dx = \left[s \cdot \sin(x)\right]_{2n}^{n} - \int_{2n}^{n} \sin(x) \, ds \]

Теперь рассчитаем первую часть:

\[ \left[s \cdot \sin(x)\right]_{2n}^{n} = n \cdot \sin(n) - (2n) \cdot \sin(2n) \]

Теперь рассчитаем вторую часть:

\[ \int_{2n}^{n} \sin(x) \, ds = \left[-\cos(x)\right]_{2n}^{n} = -\cos(n) + \cos(2n) \]

Соберем все вместе:

\[ \int_{2n}^{n} s \cdot \cos(x) \, dx = n \cdot \sin(n) - (2n) \cdot \sin(2n) - (-\cos(n) + \cos(2n)) \]

\[ \int_{2n}^{n} s \cdot \cos(x) \, dx = n \cdot \sin(n) + \cos(n) - (2n) \cdot \sin(2n) - \cos(2n) \]

Это выражение представляет значение данного определенного интеграла на интервале от \(2n\) до \(n\).