Question

Решить уравнение. tgx - 2ctgx +1=0

Answer 1

Ctg x = 1/tg x. Заменим Ctg x, получим: tg x -2·1/tg x +1 =0 | ·tg x ≠ 0
tg^2 x - 2 + tg x=0. Решаем, как квадратное.
tg x = -2,                                                 tg x = 1
x=arc tg(-2) +πk, где k∈Z                      x = arc tg1 + πk, где k∈Z 
                                                            x = π/4 +πk, где k∈Z 

Answer 2

Решение уравнения tg(x) - 2ctg(x) + 1 = 0

Для решения данного уравнения, мы будем использовать тригонометрические тождества и методы для решения уравнений с тригонометрическими функциями.

Шаг 1: Приведем уравнение к общему виду, заменив ctg(x) на 1/tan(x):

tg(x) - 2 * (1/tan(x)) + 1 = 0

Шаг 2: Приведем уравнение к общему знаменателю, умножив все члены на tan(x):

tan(x) * tg(x) - 2 + tan(x) = 0

Шаг 3: Сведем квадратичное уравнение к одной переменной, заменив tg(x) на sin(x)/cos(x):

(sin(x)/cos(x)) * tan(x) - 2 + tan(x) = 0

sin(x) - 2 * cos(x) + sin(x) * cos(x) = 0

Шаг 4: Приведем уравнение к общему знаменателю и объединим подобные члены:

sin(x) + sin(x) * cos(x) - 2 * cos(x) = 0

Шаг 5: Факторизуем уравнение, выделив общий множитель:

sin(x) * (1 + cos(x)) - 2 * cos(x) = 0

Шаг 6: Разделим уравнение на cos(x):

sin(x) * (1 + cos(x))/cos(x) - 2 = 0

Шаг 7: Используем тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить (1 + cos(x))/cos(x) на sqrt(1 + sin^2(x))/cos(x):

sin(x) * sqrt(1 + sin^2(x))/cos(x) - 2 = 0

Шаг 8: Перенесем все члены уравнения на одну сторону:

sin(x) * sqrt(1 + sin^2(x))/cos(x) = 2

Шаг 9: Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:

sin^2(x) * (1 + sin^2(x))/cos^2(x) = 4

Шаг 10: Раскроем скобки и упростим уравнение:

(sin^2(x) + sin^4(x))/cos^2(x) = 4

Шаг 11: Используем тригонометрическую тождественность sin^2(x) + cos^2(x) = 1, чтобы заменить cos^2(x) на 1 - sin^2(x):

(sin^2(x) + sin^4(x))/(1 - sin^2(x)) = 4

Шаг 12: Разделим числитель на знаменатель:

(sin^2(x) + sin^4(x))/(1 - sin^2(x)) = 4

sin^2(x) + sin^4(x) = 4 - 4sin^2(x)

sin^4(x) + sin^2(x) - 4 + 4sin^2(x) = 0

Шаг 13: Обозначим sin^2(x) за y:

y^2 + y - 4 + 4y = 0

y^2 + 5y - 4 = 0

Шаг 14: Решим квадратное уравнение:

Для решения этого уравнения можно использовать формулу дискриминанта или факторизацию. Если мы используем формулу дискриминанта, получим:

D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 * 1 * (-4) = 25 + 16 = 41

Так как D > 0, у нас есть два корня:

y1 = (-b + sqrt(D))/(2a) = (-5 + sqrt(41))/2 y2 = (-b - sqrt(D))/(2a) = (-5 - sqrt(41))/2

Шаг 15: Восстановим sin^2(x) из y:

sin^2(x) = (-5 + sqrt(41))/2 или sin^2(x) = (-5 - sqrt(41))/2

Шаг 16: Решим уравнения для sin(x):

1. sin^2(x) = (-5 + sqrt(41))/2

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x) = sqrt((-5 + sqrt(41))/2)

2. sin^2(x) = (-5 - sqrt(41))/2

Возьмем квадратный корень от обеих сторон:

sin(x) = sqrt((-5 - sqrt(41))/2)

Таким образом, решение уравнения tg(x) - 2ctg(x) + 1 = 0 состоит из значений x, для которых sin(x) равно sqrt((-5 + sqrt(41))/2) или sqrt((-5 - sqrt(41))/2).