Question

Найдите максимальное значение функции log1/2(х^2-6х + 17).

Answer 1

$y=log_\frac{1}{2}(x^2-6x+17), \\ x^2-6x+17\ \textgreater \ 0, \\ D=-32\ \textless \ 0, \ a=1\ \textgreater \ 0, \\ x\in R; \\ y'=\frac{2x-6}{(x^2-6x+17)\ln\frac{1}{2}}, \\ y'=0, \ 2x-6=0, \ x=3, \\ \frac{1}{2}\ \textless \ 1, \ \ln\frac{1}{2}\ \textless \ 0, \\ x\ \textless \ 3, \ y'\ \textgreater \ 0, \ y\nearrow, \\ x\ \textgreater \ 3, \ y'\ \textless \ 0, \ y\searrow, \\ x_{max}=3, \ y_{max}=log_\frac{1}{2}(3^2-6\cdot3+17)=log_\frac{1}{2}8=-3. \\ (3;-3).$

Answer 2

Чтобы найти максимальное значение функции f(x) = log1/2(x^2 - 6x + 17), мы можем использовать различные методы, включая аналитический и графический подходы. Давайте рассмотрим оба способа.

Аналитический подход:

1. Найдем производную функции f(x). Для этого применим правило дифференцирования логарифма и цепного правила: f'(x) = (1/ln(1/2)) * (2x - 6) / (x^2 - 6x + 17)

2. Найдем точки, где производная равна нулю, для этого решим уравнение: (2x - 6) / (x^2 - 6x + 17) = 0

Уравнение не имеет решений, так как числитель не может быть равен нулю, а знаменатель всегда положительный.

3. После того, как мы установили, что производная не равна нулю, мы можем перейти к следующему шагу.

4. Определим поведение функции на интервалах. Вычислим значение f(x) при x, стремящемся к бесконечности и минус бесконечности.

При x -> -бесконечность, f(x) -> +бесконечность. При x -> +бесконечность, f(x) -> -бесконечность.

Это означает, что функция f(x) не имеет максимального значения, так как она стремится к положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от знака x.

Графический подход:

Мы можем нарисовать график функции f(x) = log1/2(x^2 - 6x + 17) и найти его максимальное значение графически.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x = np.linspace(-10, 10, 100)
y = np.log2(x**2 - 6*x + 17)

plt.plot(x, y)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.title('Graph of f(x) = log1/2(x^2 - 6x + 17)')
plt.grid(True)
plt.show()

По графику мы видим, что функция f(x) не достигает максимального значения, так как она стремится к положительной или отрицательной бесконечности в зависимости от знака x.

Таким образом, функция f(x) = log1/2(x^2 - 6x + 17) не имеет максимального значения.