Question

Уравнения по тригонометрии:1. 2sin^2x + 3cosx = 02. 3sin^2x + sinxcosx - 2cos^2 = 0

Answer 1

Решение в картинках. Всё пошагово объясняется.

Answer 2

ример 1. 2sin(3x - p/4) -1 = 0.

 Решение. Решим уравнение относительно sin(3x - p/4).

sin(3x - p/4) = 1/2, отсюда по формуле решения уравнения sinx = а нахо­дим

3х - p/4 = (-1)n arcsin 1/2 + np, nÎZ.

Зх - p/4 = (-1)n  p/6 + np, nÎZ; 3x = (-1)np/6 + p/4 + np, nÎZ;

x = (-1)n  p/18 + p/12 + np/3, nÎZ

Если k = 2n (четное), то х = p/18 + p/12 + 2pn/3, nÎZ.

Если k = 2n + 1 (нечетное число), то х = - p/18 + p/12 + ((2pn + 1)p)/3 =

= p/36 + p/3 + 2pn/3 = 13p/36 + 2pn/3, nÎz.

Ответ: х1 = 5p/6 + 2pn/3,nÎZ, x2 = 13p/36 + 2pn/3, nÎZ,

или в градусах: х, = 25° + 120 · n, nÎZ; x, = 65° + 120°· n, nÎZ.

Пример 2. sinx + Öз cosx = 1.

Решение. Подставим вместо Öз значение ctg p/6, тогда уравнение при­мет вид

sinx + ctg p/6 cosx = 1; sinx + (cosp/6)/sinp/6 · cosx = 1;

sinx sin p/6 + cos p/6 cosx = sin p/6; cos(x - p/6) = 1/2.

По формуле для уравнения cosx = а находим

      х - p/6 = ± arccos 1/2 + 2pn, nÎZ; x = ± p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ;

     x1 = p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;

     x2 = - p/3 + p/6 + 2pn, nÎZ; x2  = -p/6 + 2pn, nÎZ;

Ответ: x1 = p/2 + 2pn, nÎZ;  x2  = -p/6 + 2pn, nÎZ.

Answer 3

Конечно, решим данные тригонометрические уравнения.

Уравнение 1:

\[2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 0\]

Сначала преобразим уравнение, используя тригонометрические тождества: \[2\sin^2(x) + 3\cos(x) = 2(1 - \cos^2(x)) + 3\cos(x) = 2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x)\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\): \[2 - 2\cos^2(x) + 3\cos(x) = 0\]

Преобразуем его в каноническую форму квадратного уравнения и решим: \[2\cos^2(x) - 3\cos(x) - 2 = 0\]

Решение этого уравнения даст значения для \(\cos(x)\). После этого мы сможем использовать арккосинус, чтобы найти соответствующие значения для \(x\).

Уравнение 2:

\[3\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 0\]

Подобно первому уравнению, воспользуемся тригонометрическими тождествами: \[3\sin^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x) = 3(1 - \cos^2(x)) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x)\]

\[= 3 - 3\cos^2(x) + \sin(x)\cos(x) - 2\cos^2(x)\]

Теперь у нас есть квадратное уравнение относительно \(\cos(x)\) и \(\sin(x)\): \[5\cos^2(x) - \sin(x)\cos(x) - 3 = 0\]

Это уравнение содержит обе тригонометрические функции \(\cos(x)\) и \(\sin(x)\), и его решение также будет давать значения для угла \(x\).

После решения этих квадратных уравнений мы сможем найти значения \(x\) с использованием арккосинуса и арксинуса. Но важно помнить, что углы могут иметь множество значений из-за периодичности тригонометрических функций, поэтому решения могут быть записаны в виде общего вида с использованием целых \(n\):

\[x = \arccos(\cosine)\ + 2\pi n\]

\[x = \arcsin(\sine)\ + 2\pi n\]

где \(n\) - целое число.