Question

Сечением конуса является равносторонний треугольник со стороной 8 см.Найти полную поверхность конуса

Answer 1

Значит, образующая равна 8, а радиус основания равен 4.
Sполн. = Sбок + Sосн. = πRl + πR² = π · 4 · 8 + π · 4² = 32π + 16π = 48π

Answer 2

Чтобы найти полную поверхность конуса, нужно сложить площадь его основания и площадь боковой поверхности.

Площадь основания конуса можно найти по формуле для площади равностороннего треугольника, так как сечение конуса - это равносторонний треугольник. Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле:

\[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times a^2 \]

где \(a\) - длина стороны равностороннего треугольника, в данном случае, длина стороны сечения конуса, равная 8 см.

\[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 8^2 \]

\[ S_{\text{основания}} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 64 \]

\[ S_{\text{основания}} = 16\sqrt{3} \, \text{см}^2 \]

Теперь найдем боковую поверхность конуса. Боковая поверхность конуса представляет собой равнобедренный треугольник, где боковые стороны равны образующей конуса. Длина образующей (высоты конуса) может быть найдена с использованием теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике, где один катет равен радиусу основания, а другой - половине длины образующей (высоты конуса).

\[ r^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = l^2 \]

\[ 4^2 + \left(\frac{h}{2}\right)^2 = l^2 \]

\[ 16 + \frac{h^2}{4} = l^2 \]

\[ \frac{h^2}{4} = l^2 - 16 \]

\[ h^2 = 4(l^2 - 16) \]

\[ h = 2\sqrt{l^2 - 16} \]

Теперь, зная высоту конуса, можно найти боковую поверхность по формуле:

\[ S_{\text{боковой}} = \pi \times r \times l \]

\[ S_{\text{боковой}} = \pi \times 4 \times 2\sqrt{l^2 - 16} \]

Теперь сложим площадь основания и боковую поверхность:

\[ S_{\text{полной}} = S_{\text{основания}} + S_{\text{боковой}} \]

\[ S_{\text{полной}} = 16\sqrt{3} + \pi \times 8 \times \sqrt{l^2 - 16} \]

Поскольку значение \(l\) неизвестно, мы не можем точно вычислить полную поверхность конуса без дополнительной информации о высоте. Если у вас есть значение высоты конуса, вы можете подставить его в формулу и решить уравнение для \(S_{\text{полной}}\).