Question

СРОЧНО!!!!!Найти все значения параметра a, при каждом из которых уравнение |1 − x| = 1 + (1 − 2a)x + ax^2 имеет ровно три решения.

Answer 1

1) x > 1, тогда |1 - x| = x - 1
x - 1 = 1 + x(1 - 2a) + ax^2
ax^2 + x(1 - 2a - 1) + 2 = 0
ax^2 - 2ax + 2 = 0
D = (-2a)^2 - 4*a*2 = 4a^2 - 8a = 4(a^2 - 2a) > 0
a ∈ (-oo; 0) U (2; +oo)
x1 = (2a - 2√(a^2-2a)) / (2a) = 1 - √(a^2-2a)/a = 1 - √[(a-2)/a]
x2 = (2a + 2√(a^2-2a)) / (2a) = 1 + √(a^2-2a)/a = 1 + √[(a-2)/a]

2) x = 1, тогда |1 - x| = 0
0 = 1 + (1 - 2a)*1 + a*1^2 = 1 + 1 - 2a + a = -a + 2
a = 2
Подставим a = 2 в уравнение и решим его.
|1 - x| = 1 + (1 - 4)x + 2x^2 = 1 - 3x + 2x^2
При x > 1 будет |1 - x| = x - 1
x - 1 = 1 - 3x + 2x^2
2x^2 - 4x + 2 = 0
2(x - 1)^2 = 0
x1 = x2 = 1 - не подходит, потому что x > 1
При x <= 1 будет |1 - x| = 1 - x
1 - x = 1 - 3x + 2x^2
2x^2 - 2x = 2x(x - 1) = 0
x1 = 0; x2 = 1 - два корня, а = 1 не подходит.

3) x <= 1, тогда |1 - x| = 1 - x
1 - x = 1 + (1 - 2a)x + ax^2
ax^2 + (1 - 2a + 1)x = 0
x*[ax + (2 - 2a)] = 0
x1 = 0; x2 = (2a - 2)/a = 2 - 2/a <= 1
2/a >= 1
2/a - 1 >= 0
(2 - a)/a >= 0
a ∈ (0; 2]

Итак, получаем следующее:
При a = 0 в 1) случае корней нет, в 3) случае будет 1 корень x = 0
При a = 2 в 1) случае будет 1 корень x = 0, в 3) случае 2 корня x1 = 0, x2 = 1.
В любом случае не больше 2 корней.

При a = 1 в 1) случае корней нет,  во 2) случае корней нет,
в 3) случае x = 0

При a ∈ (0; 2) в 1) случае корней нет, в 3) случае 2 корня:
x1 = 0; x2 = (2a - 2)/a

При a ∈ (-oo; 0) U (2; +oo) в 1) .случае 2 корня:
x1 = 1 - √[(a-2)/a]; x2 = 1 + √[(a-2)/a]
Во 2) случае корней нет, в 3) случае корней нет.

Ответ: 3 корня не будет ни при каком а

Answer 2

Уравнение |1 - x| = 1 + (1 - 2a)x + ax^2 имеет ровно три решения при определенных значениях параметра a. Чтобы найти все значения параметра a, при которых это уравнение имеет три решения, нам необходимо рассмотреть условия, при которых дискриминант этого квадратного уравнения равен нулю.

Решение:

1. Найдем дискриминант уравнения |1 - x| = 1 + (1 - 2a)x + ax^2. Для этого раскроем модуль и приведем уравнение к виду ax^2 + (1 - 2a)x + (1 - 1) = 0: - Если x >= 1, то уравнение примет вид ax^2 + (1 - 2a)x + 0 = 0. - Если x < 1, то уравнение примет вид ax^2 + (1 - 2a)x + 2x - 1 = 0.

2. Рассмотрим первый случай, когда x >= 1: - Для того, чтобы уравнение имело ровно три решения, дискриминант должен быть равен нулю: (1 - 2a)^2 - 4a(0) = 0. - Раскроем скобки и упростим уравнение: 1 - 4a + 4a^2 = 0. - Получим квадратное уравнение 4a^2 - 4a + 1 = 0. - Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-4)^2 - 4 * 4 * 1 = 16 - 16 = 0. - Так как дискриминант равен нулю, уравнение имеет одно решение: a = 1/2.

3. Рассмотрим второй случай, когда x < 1: - Для того, чтобы уравнение имело ровно три решения, дискриминант должен быть равен нулю: (1 - 2a)^2 - 4a(2) = 0. - Раскроем скобки и упростим уравнение: 1 - 4a + 4a^2 - 8a = 0. - Получим квадратное уравнение 4a^2 - 12a + 1 = 0. - Решим это уравнение с помощью дискриминанта: D = (-12)^2 - 4 * 4 * 1 = 144 - 16 = 128. - Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два решения: a = (12 ± √128) / 8 = (12 ± 8√2) / 8 = (3 ± 2√2) / 2.

Ответ:

Уравнение |1 - x| = 1 + (1 - 2a)x + ax^2 имеет ровно три решения при следующих значениях параметра a: - a = 1/2, когда x >= 1. - a = (3 + 2√2) / 2 и a = (3 - 2√2) / 2, когда x < 1