Question

Докажите что при любых значениях переменных верно неравенство а)m(в квадрате) + 16 больше или равно 8m b)a(в квадрате) + 8a + 16 больше или равно 16a с)x(в квадрате) - x больше или равно -1/4 d)a-1 меньше или равно a(в квадрате) / 4

Answer 1

А)
 m²+16≥8m,
m²-8m+16≥0,
(m-4)²≥0 равенство верно при любом m т.к. числа , возводящие в квадрат,
всегда положительны .
c)
а²+8а+16≥16а
а²-8а+16≥0
(а-4)²≥0- равенство верно при любом а , т.к. числа ,возводящие в квадрат , всегда положительны.
b)
х²-х≥-1/4
х²-х+1/4≥0
(х-1/2)≥0 - равенство верно при любом х
d)
a-1≤a²/4
a²/4-a+1≥0
(a/2-1)²≥0- равенство верно при любом а



   

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое неравенство по отдельности и докажем их.

1) a^2 + 16 ≥ 8m + b:

Для начала, давайте преобразуем это неравенство:

a^2 ≥ 8m + b - 16

Теперь мы можем доказать это неравенство, предполагая, что оно неверно. Если оно неверно, то должно существовать некоторое значение переменных a, m и b, для которых a^2 < 8m + b - 16.

Предположим, что такие значения существуют. Рассмотрим выражение 8m + b - 16. Поскольку это выражение является суммой или разностью, оно должно быть больше либо равно нулю. То есть:

8m + b - 16 ≥ 0

Теперь рассмотрим выражение a^2. Поскольку a^2 является квадратом, оно всегда будет неотрицательным, то есть a^2 ≥ 0.

Таким образом, мы получаем:

a^2 < 8m + b - 16 ≤ 0

Но это противоречит нашему предположению, что a^2 < 8m + b - 16. Значит, наше предположение было неверным, и неравенство a^2 + 16 ≥ 8m + b верно для любых значений переменных a, m и b.

2) a^2 + 8a + 16 ≥ 16a:

Снова преобразуем это неравенство:

a^2 + 8a + 16 ≥ 16a

a^2 + 8a + 16 - 16a ≥ 0

a^2 - 8a + 16 ≥ 0

Теперь рассмотрим выражение a^2 - 8a + 16. Это квадратное выражение, и если мы его разложим на множители, получим (a - 4)^2 ≥ 0. Поскольку квадрат всегда неотрицательный, то и (a - 4)^2 ≥ 0.

Таким образом, мы доказали, что неравенство a^2 + 8a + 16 ≥ 16a верно для любых значений переменной a.

3) x^2 - x ≥ -1/4 + d:

Преобразуем это неравенство:

x^2 - x + 1/4 ≥ d

(x - 1/2)^2 ≥ d

Так как квадрат всегда неотрицательный, мы можем сказать, что (x - 1/2)^2 ≥ 0. То есть неравенство x^2 - x ≥ -1/4 + d верно для любых значений переменных x и d.

4) a - 1 ≤ a^2 / 4:

Преобразуем это неравенство:

4a - 4 ≤ a^2

a