Question

Нужна помощь помогите срочно Какое наименьшее число при делении на 4 5 и 7 дает в остатке 1.

Answer 1

1. 5 : 4 = 1 (ост. 1);
2. 6 : 5 = 1 (ост. 1);
3. 8 : 7 = 1 (ост. 1).

Answer 2

Чтобы найти наименьшее число, которое при делении на 4, 5 и 7 дает в остатке 1, мы можем воспользоваться методом китайской теоремы об остатках (КТО) или просто выполнить поиск.

Метод КТО требует решения системы сравнений:

\[ \begin{align*} x &\equiv 1 \pmod{4} \\ x &\equiv 1 \pmod{5} \\ x &\equiv 1 \pmod{7} \end{align*} \]

Сначала найдем решение для первых двух уравнений. Найти число, которое при делении на 4 и 5 дает в остатке 1, можно методом перебора или использованием кратчайшего множителя. Для этого воспользуемся кратчайшими множителями:

- Для 4: \(4 \times 1 = 4\), \(4 \times 2 = 8\), \(4 \times 3 = 12\), и так далее. Первое число, дающее в остатке 1 при делении на 4, - это 5. - Для 5: \(5 \times 1 = 5\), \(5 \times 2 = 10\), \(5 \times 3 = 15\), и так далее. Первое число, дающее в остатке 1 при делении на 5, - это 6.

Теперь у нас есть число \(x\), которое удовлетворяет первым двум уравнениям: \(x \equiv 1 \pmod{4}\) и \(x \equiv 1 \pmod{5}\). Теперь добавим третье уравнение:

- Для 7: \(7 \times 1 = 7\), \(7 \times 2 = 14\), \(7 \times 3 = 21\), и так далее. Первое число, дающее в остатке 1 при делении на 7, - это 8.

Таким образом, \(x = 5\) удовлетворяет первым двум уравнениям, и \(x = 8\) удовлетворяет третьему уравнению. Теперь мы можем воспользоваться методом КТО для нахождения окончательного ответа.

\[ x \equiv a_1 \cdot m_1 \cdot (m_1^{-1} \pmod{n_1}) + a_2 \cdot m_2 \cdot (m_2^{-1} \pmod{n_2}) + a_3 \cdot m_3 \cdot (m_3^{-1} \pmod{n_3}) \pmod{N} \]

где: - \(a_1, a_2, a_3\) - соответственно, остатки в уравнениях (в данном случае, 1, 1, 1), - \(n_1, n_2, n_3\) - модули в уравнениях (в данном случае, 4, 5, 7), - \(m_1, m_2, m_3\) - произведения остальных модулей (т.е., \(m_1 = n_2 \cdot n_3\), \(m_2 = n_1 \cdot n_3\), \(m_3 = n_1 \cdot n_2\)), - \(m_1^{-1}, m_2^{-1}, m_3^{-1}\) - обратные элементы к \(m_1, m_2, m_3\) по соответствующим модулям.

Вычислим:

- \(m_1 = 5 \cdot 7 = 35\) - \(m_2 = 4 \cdot 7 = 28\) - \(m_3 = 4 \cdot 5 = 20\)

Теперь найдем обратные элементы:

- \(m_1^{-1} \equiv 3 \pmod{4}\) (так как \(35 \equiv 3 \pmod{4}\)) - \(m_2^{-1} \equiv 2 \pmod{5}\) (так как \(28 \equiv 3 \pmod{5}\)) - \(m_3^{-1} \equiv 3 \pmod{7}\) (так как \(20 \equiv 6 \pmod{7}\))

Теперь подставим все значения в формулу:

\[ x \equiv 1 \cdot 35 \cdot 3 + 1 \cdot 28 \cdot 2 + 1 \cdot 20 \cdot 3 \pmod{140} \]

Вычислим:

\[ x \equiv 105 + 56 + 60 \equiv 221 \pmod{140} \]

Таким образом, наименьшее число, которое при делении на 4, 5 и 7 дает в остатке 1, равно 221.