Question

Помогите y``-10y`+25y=0

Answer 1

Наверное так если я не ошибся

Answer 2

Для решения этого уравнения y'' - 10y' + 25y = 0, мы можем использовать метод характеристического уравнения. Давайте разберемся подробнее.

Характеристическое уравнение

Для уравнений второго порядка вида y'' + ay' + by = 0, характеристическое уравнение имеет вид r^2 + ar + b = 0. В нашем случае, a = -10 и b = 25, поэтому характеристическое уравнение будет иметь вид r^2 - 10r + 25 = 0.

Решение характеристического уравнения

Мы можем решить это квадратное уравнение, используя стандартные методы. Для этого нам нужно найти значения r, которые удовлетворяют уравнению.

r^2 - 10r + 25 = 0

Факторизуя это уравнение, мы получаем:

(r - 5)^2 = 0

Теперь мы видим, что у нас есть два одинаковых корня r = 5.

Частное решение

Так как у нас есть два одинаковых корня, мы можем записать частное решение в виде:

y_p(x) = (c1 + c2x)e^(rx)

где c1 и c2 - произвольные постоянные, x - независимая переменная, и r - корень характеристического уравнения.

В нашем случае, r = 5, поэтому частное решение будет иметь вид:

y_p(x) = (c1 + c2x)e^(5x)

Общее решение

Общее решение исходного уравнения y'' - 10y' + 25y = 0 будет состоять из суммы частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Общее решение будет иметь вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

где y_h(x) - общее решение однородного уравнения.

Однородное уравнение

Однородное уравнение получается, когда в исходном уравнении отсутствует правая часть. В нашем случае, однородное уравнение будет иметь вид:

y'' - 10y' + 25y = 0

Для решения этого уравнения, мы можем использовать характеристическое уравнение, которое мы уже нашли ранее.

Решение однородного уравнения

Так как у нас есть два одинаковых корня r = 5, решение однородного уравнения будет иметь вид:

y_h(x) = (c3 + c4x)e^(5x)

где c3 и c4 - произвольные постоянные.

Общее решение

Теперь мы можем объединить частное решение и общее решение однородного уравнения, чтобы получить общее решение исходного уравнения.

Общее решение будет иметь вид:

y(x) = y_h(x) + y_p(x)

где y_h(x) - общее решение однородного уравнения, y_p(x) - частное решение.

Таким образом, общее решение уравнения y'' - 10y' + 25y = 0 будет:

y(x) = (c3 + c4x)e^(5x) + (c1 + c2x)e^(5x)

где c1, c2, c3 и c4 - произвольные постоянные.