Question

ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА!!! ОЧЕНЬ НАДО. (ну или, кто что сможет) определить производные функции: а) у=ln(3x²+ б) y=x*10 в степени в) xy+

Answer 1

A)
$y=ln(3x ^{2} + \sqrt{9 x^{4} +1} )$
По формуле
$(lnu)`= \frac{1}{u} \cdot u`$
$y`= \frac{1}{3x ^{2} + \sqrt{9 x^{4} +1} }\cdot (3x ^{2} + \sqrt{9 x^{4} +1} )`= \\ \\ = \frac{1}{3x ^{2} + \sqrt{9 x^{4} +1} }\cdot (2x + \frac{1}{2 \sqrt{9 x^{4} +1} }\cdot(9 x^{4} +1})`)= \\ \\ = \frac{1}{3x ^{2} + \sqrt{9 x^{4} +1} }\cdot (2x + \frac{1}{2 \sqrt{9 x^{4} +1} }\cdot36 x^{3} })= \\ \\ =$
$=\frac{1}{3x ^{2} + \sqrt{9 x^{4} +1} }\cdot (2x + \frac{18x^{3} }{ \sqrt{9 x^{4} +1} } })$

б)
$y`=(x)`\cdot10 ^{ \sqrt{x} } +x\cdot (10 ^{ \sqrt{x} })`= \\ \\ = 1\cdot10 ^{ \sqrt{x} } +x\cdot (10 ^{ \sqrt{x} })\cdot ln10\cdot ( \sqrt{x} )`= \\ \\ = 10 ^{ \sqrt{x} } +x\cdot (10 ^{ \sqrt{x} })\cdot ln10\cdot ( \frac{1}{2 \sqrt{x}} )= \\ \\= 10 ^{ \sqrt{x} } + \frac{ \sqrt{x} }{2} \cdot (10 ^{ \sqrt{x} })\cdot ln10=$

в)
$(xy+ e^{y})`=0 \\ \\ x`\cdot y+x\cdot y`+e ^{y}\cdot y`=0 \\ \\ y+x\cdot y`+e ^{y}\cdot y`=0 \\ \\y`= -\frac{y}{x+e ^{y} }$

Answer 2

а) Чтобы найти производную функции y = ln(3x²), воспользуемся правилом дифференцирования для функции ln(x).

Правило гласит, что производная ln(x) равна 1/x.

Применяя это правило, получим:

dy/dx = (1/(3x²)) * (6x) = 6x/(3x²) = 2/x

Таким образом, производная функции y = ln(3x²) равна 2/x.

б) Функция y = x*10 в степени x имеет вид y = x^x * 10^x. Чтобы найти производную этой функции, воспользуемся правилом дифференцирования для функций вида f(x) = u(x)^v(x).

Правило гласит, что производная функции f(x) = u(x)^v(x) равна f'(x) = (v(x)*u'(x)*ln(u(x))) + (u(x)^(v(x)-1)*v'(x)).

Применяя это правило, получим:

dy/dx = (x^x * 10^x) * (1/x * ln(x^x)) + (x^x * ln(10) * (x^x-1))

Упрощая выражение, получим:

dy/dx = (x^(x-1) * 10^x) * (x * ln(x) + ln(10))

Таким образом, производная функции y = x*10 в степени x равна (x^(x-1) * 10^x) * (x * ln(x) + ln(10)).

в) Чтобы найти производную функции y = xy, воспользуемся правилом дифференцирования для функции произведения.

Правило гласит, что производная функции произведения равна сумме произведений производных.

Применяя это правило, получим:

dy/dx = x * d(y)/dx + y * d(x)/dx

Поскольку y = xy, то d(y)/dx = x * d(x)/dx + y.

Подставляя это выражение в исходное уравнение, получим:

dy/dx = x * d(x)/dx + xy

Таким образом, производная функции y = xy равна x * d(x)/dx + xy.