Question

Найдите все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Answer 1

Рассмотрим, какие могут быть остатки при делении p, q на 3.

остаток p отстаток q остаток p + q остаток (p – q)³0000•0111•0–1–111011•11–101–10–1–10–1–1•–110–1–1–110
(Отмеченные • строки содержат случаи одинаковых остатков p + q и (p – q)³.)

Мораль: если p + q = (p – q)³, то либо p = 3, либо q = 3.

Если p = 3, то 3 + q = (3 – q)³. При q = 2 равенство не выполняется, при q ≥ 3 слева положительное, справа — нет.

Если q = 3, то p + 3 = (p – 3)³. Раскроем скобки:

p + 3 = p³ – 9² + 27p – 27,
p³ – 9p² + 26p – 30 = 0.

Один корень «очевиден»: p = 5.

p³ – 9p² + 26p – 30 = (p – 5)(p² – 4p + 6).

Уравнение p² – 4p + 6 = 0 целых корней (впрочем как и вообще действительных) не имеет.

Answer 2

Я могу помочь вам решить эту задачу.

Нам нужно найти все простые числа p и q такие, что p + q = (p – q)³.

Для этого мы можем воспользоваться следующими шагами:

1. Пусть p – q = x, тогда p + q = x³. Тогда q = p – x и q = x³ – p. Сложим эти два уравнения и получим 2q = x³ – x = x(x² – 1) = x(x – 1)(x + 1). Это означает, что правая часть равенства является произведением трех последовательных чисел, и одно из них обязательно делится на 3. Тогда и 2q делится на 3, а значит, q тоже делится на 3. 2. Поскольку q – простое число, то оно может быть только равно 3. Тогда 2q = 6, и это возможно только при x = 2. Тогда p = q + x = 3 + 2 = 5. Таким образом, мы нашли единственную пару простых чисел p и q, удовлетворяющих условию: p = 5 и q = 3. 3. Мы можем проверить наш ответ, подставив найденные значения в исходное уравнение: 5 + 3 = (5 – 3)³, 8 = 2³, 8 = 8. Уравнение выполняется, значит, наш ответ верен.

Надеюсь, это было полезно для вас. Если у вас есть еще вопросы, я буду рад ответить на них.