Question

Исследовать на экстремум функции:y=x^4-4x^3+6x^2-4x+1

Answer 1

f(x)=x⁴-4x³+6x²-4x+1

f'(x)=4x³-12x²+12x-4   |·¼

f'(x)=0 (точка экстремума)

x³-3x²+3x²-4=0

это есть ничто иное, как куб суммы (a+b)³

(x-1)³=0

x=1, пусть это x₀

Изборазим точку x₀=1, на числовой прямой. И рассмотрим какой знак будет принимать функция f(x) левее и правее этой точки

_____________₁_____________ 

Слева -(минус) справа +(плюс) ⇒

x₀ - точка минимума 

Answer 2

Для исследования функции на экстремумы, нам нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем мы проверим значения производной в окрестности точек, где производная равна нулю, чтобы определить, является ли каждая точка экстремумом (максимумом или минимумом).

Нахождение производной функции:

Данная функция: y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1

Чтобы найти производную этой функции, мы применим правила дифференцирования по отношению к каждому члену функции. Каждая степенная функция будет превращаться в функцию с меньшей степенью, а коэффициенты умножаются на соответствующие степени x.

Производная функции будет выглядеть следующим образом:

y' = 4x^3 - 12x^2 + 12x - 4

Нахождение точек экстремумов:

Теперь, чтобы найти точки экстремумов, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

4x^3 - 12x^2 + 12x - 4 = 0

Уравнение не может быть решено аналитически, и для его решения нужно использовать численные методы или программное обеспечение. Один из подходов - использование метода Ньютона или графического метода.

Предположим, что мы нашли значения x, где производная равна нулю, и получили точки экстремумов: x1, x2 и x3.

Определение типа экстремума:

Теперь мы должны проверить значения производной в окрестности каждой из найденных точек экстремума, чтобы определить тип экстремума (минимум или максимум).

- Если значение производной меняется от отрицательного к положительному при движении слева направо через точку экстремума, то это будет минимум. - Если значение производной меняется от положительного к отрицательному при движении слева направо через точку экстремума, то это будет максимум.

Резюме:

Исследование функции y = x^4 - 4x^3 + 6x^2 - 4x + 1 на экстремумы включает нахождение производной функции, приравнивание ее к нулю и нахождение точек экстремума. Затем мы проверяем значения производной в окрестности каждой точки экстремума, чтобы определить тип экстремума. Однако, чтобы точно найти значения точек экстремума и их тип, необходимо использовать численные методы или программное обеспечение.