Question

Длины катетов прямоугольного треугольника АВС равны 6см и 4см. Больший катет АС разделен точками М и N на 3 равны части. точки М и N соединены вершиной В. найди площадь треугольника ВМN.

Answer 1

Вот рисунок.
MN = 2; MB = √(4^2 + 2^2) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
NB = √(4^2 + 4^2) = √(16 + 16) = √32 = 4√2
По формуле Герона
p = (MN + NB + MB)/2 = (2 + 2√5 + 4√2)/2 = 1 + √5 + 2√2
S^2 = p(p - MN)(p - MB)(p - NB) =
= (1 + √5 + 2√2)(√5 + 2√2 - 1)(1 - √5 + 2√2)(1 + √5 - 2√2) =
= [((√5+2√2) + 1)((√5+2√2) - 1)]*[(1 - √5 + 2√2)(1 + √5 - 2√2)] =
= [(√5+2√2)^2 - 1]*[1-√5+2√2+√5+2√10-2√2+2√10-8] =
= (5 + 8 + 4√10 - 1)*(4√10 - 7) = (4√10 + 12)(4√10 - 7) =
= 16*10 + 48√10 - 28√10 - 84 = 76 + 20√10
S = √(76 + 20√10) ~ 11,8 кв.см.

Answer 2

Для решения задачи, давайте обозначим длины катетов прямоугольного треугольника ABC. Пусть AC = 6 см, BC = 4 см. Больший катет AC разделен точками M и N на три равные части.

Обозначим длину каждой части как \(x\). Тогда AM = MN = NC = x. Также известно, что AB - гипотенуза треугольника ABC.

Мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы AB: \[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2}.\] \[AB = \sqrt{6^2 + 4^2}.\] \[AB = \sqrt{36 + 16}.\] \[AB = \sqrt{52}.\]

Теперь, чтобы найти площадь треугольника VMN, давайте рассмотрим треугольник ABM и используем формулу площади треугольника:

\[S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AM.\] \[S_{ABM} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot x.\]

Так как точки M и N делят AC на три равные части, длина AM (или MN, NC) равна x.

Теперь, учитывая, что у нас три таких треугольника (ABM, BMN, и BNC), мы можем найти площадь треугольника VMN, сложив площади трех подобных треугольников:

\[S_{VMN} = 3 \cdot S_{ABM}.\] \[S_{VMN} = 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot x.\]

Подставим значение x и упростим:

\[S_{VMN} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot x.\]

Теперь подставим значение x. Так как AM = x, то \(x = \frac{AC}{3} = \frac{6}{3} = 2\) см.

\[S_{VMN} = \frac{3}{2} \cdot \sqrt{52} \cdot 2.\]

\[S_{VMN} = 3 \cdot \sqrt{52}.\]

Таким образом, площадь треугольника VMN равна \(3 \cdot \sqrt{52}\) квадратных сантиметра.