Question

Найдите наименьшее значение функции на отрезке [-2;2]: у=2х^2(х-1)+5

Answer 1

Решение во вложении.

Answer 2

Для нахождения наименьшего значения функции на отрезке [-2;2], нам нужно найти точку, где функция достигает своего минимума. Для этого мы можем использовать производную функции и приравнять ее к нулю.

Данная функция у=2х^2(х-1)+5 является квадратичной функцией, и ее производная будет иметь вид:

у' = 4х^3 - 6х^2

Теперь приравняем у' к нулю и найдем значения х:

4х^3 - 6х^2 = 0

Вынесем общий множитель:

2х^2(2х - 3) = 0

Теперь решим уравнение:

2х^2 = 0 => х = 0

2х - 3 = 0 => х = 3/2

Получили две точки, где производная функции равна нулю: х = 0 и х = 3/2. Теперь мы должны проверить, какая из этих точек является точкой минимума, а какая - точкой максимума.

Для этого можно построить таблицу знаков производной функции:

х | (-∞; 0) | (0; 3/2) | (3/2; +∞) -----|---------|----------|---------- у' | - | + | +

Из таблицы видно, что на отрезке [-2;2] производная функции положительна, значит, точка х = 3/2 является точкой минимума.

Теперь подставим эту точку в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение у:

у = 2(3/2)^2(3/2-1) + 5 = 2(9/4)(1/2) + 5 = 9/2 + 5 = 9/2 + 10/2 = 19/2

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке [-2;2] равно 19/2 или 9.5.