Question

Y+3y'=9x'' найти общее решение

Answer 1

Х^2-3y=9
x+y=3*3

2x-3y=9
3x+3y=9
x=0
y=3

Answer 2

Problem Analysis

To find the general solution of the given differential equation, we need to solve the equation and express the solution in terms of the variables x and y. The equation is given as:

y'' = (9x - 3y)/3

Solution

To solve the given differential equation, we can use the method of separation of variables. Let's proceed with the solution step by step.

Step 1: Rewrite the equation in standard form: y'' - (9/3)x + (3/3)y = 0

Step 2: Assume a solution of the form y = e^(mx), where m is a constant to be determined.

Step 3: Substitute the assumed solution into the differential equation: (e^(mx))'' - (9/3)x + (3/3)(e^(mx)) = 0

Step 4: Simplify the equation: m^2e^(mx) - (9/3)x + (3/3)e^(mx) = 0

Step 5: Divide the equation by e^(mx): m^2 - (9/3)x + 3 = 0

Step 6: Solve the quadratic equation for m: m^2 - (9/3)x + 3 = 0

Using the quadratic formula, we can find the values of m:

m = (-(-9/3)x ± √((-9/3)x)^2 - 4(1)(3))/2(1) m = (3/3)x ± √((9/3)^2x^2 - 12)/2 m = (3/3)x ± √(9x^2 - 12)/2 m = (3/3)x ± √(3(3x^2 - 4))/2 m = (3/3)x ± √(3)(√(3x^2 - 4))/2

Step 7: Express the general solution: The general solution of the given differential equation is given by:

y = C1e^((3/3)x + √(3)(√(3x^2 - 4))/2) + C2e^((3/3)x - √(3)(√(3x^2 - 4))/2)

where C1 and C2 are arbitrary constants.

Please note that the solution provided above is based on the assumption that the given differential equation is correct. If there are any errors or missing information in the given equation, the solution may not be accurate.

Answer 3

Давайте решим данное дифференциальное уравнение. Уравнение имеет вид:

\[y + 3y' = 9x''\]

Для начала найдем производные. Первая производная от \(y\) по \(x\) обозначается \(y'\), а вторая производная — \(y''\). Таким образом:

\[y' + 3y'' = 9\]

Теперь у нас есть уравнение второго порядка. Для его решения воспользуемся характеристическим уравнением. Пусть \(m\) — это характеристический множитель, тогда уравнение будет иметь вид:

\[m^2 + 3m - 9 = 0\]

Теперь найдем корни этого квадратного уравнения. Мы можем воспользоваться формулой дискриминанта:

\[D = b^2 - 4ac\]

где \(a = 1\), \(b = 3\), и \(c = -9\). Подставим значения:

\[D = 3^2 - 4(1)(-9) = 9 + 36 = 45\]

Так как дискриминант положителен, у нас есть два действительных корня \(m_1\) и \(m_2\):

\[m_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{45}}{2}\]

\[m_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{45}}{2}\]

Теперь общее решение уравнения будет иметь вид:

\[y(x) = c_1e^{m_1x} + c_2e^{m_2x}\]

где \(c_1\) и \(c_2\) — произвольные константы, которые могут быть определены из начальных условий или граничных условий задачи.