Question

Решите систему уравнений x+y+xy=1 x^2y+xy^2=-30

Answer 1

{ x+y+xy = 1
{ x^2*y + x*y^2 = -30
Второе уравнение разделим на множители
{ (x+y) + xy = 1
{ xy*(x+y) = -30
Делаем замену: x+y = u; x*y = v
{ u + v = 1
{ u*v = -30
Это теорема Виета: числа u и v - это корни квадратного уравнения
t^2 - t - 30 = 0
(t - 6)(t + 5) = 0
t1 = -5; t2 = 6
Два варианта решений:
1) u = x + y = -5; v = x*y = 6
Это опять теорема Виета. Уравнение
z^2 + 5z + 6 = 0
D = 5^2 - 4*1*6 = 25 - 24 = 1
z1 = (-5 - 1)/2 = -3; z2 = (-5 + 1)/2 = -2
x1 = -2; y1 = -3; x2 = -3; y2 = -2
2) u = x + y = 6; v = x*y = -5
z^2 - 6z - 5 = 0
D = 6^2 - 4*1(-5) = 36 + 20 = 56 = (√56)^2 = (2√14)^2
z1 = (6 - 2√14)/2 = 3 - √14; z2 = 3 + √14
x3 = 3 - √14; y3 = 3 + √14; x4 = 3 + √14; y4 = 3 - √14

Answer 2

Давайте решим данную систему уравнений:

Уравнение 1: x + y + xy = 1 Уравнение 2: x^2y + xy^2 = -30

Для начала, давайте решим уравнение 1 относительно x. Мы можем выразить x через y, используя это уравнение. Вычитая y из обеих сторон, получим:

x + xy = 1 - y

Затем вынесем x за скобки:

x(1 + y) = 1 - y

Теперь разделим обе стороны на (1 + y):

x = (1 - y) / (1 + y) ---(уравнение 3)

Теперь мы можем подставить это значение x в уравнение 2. Заменим x в уравнении 2 на (1 - y) / (1 + y):

((1 - y) / (1 + y))^2 * y + ((1 - y) / (1 + y)) * y^2 = -30

Упростим это уравнение:

(1 - y)^2 * y + (1 - y) * y^2 = -30 * (1 + y)^2

(1 - 2y + y^2) * y + (y^2 - y^3) = -30 * (1 + 2y + y^2)

Раскроем скобки и упростим эту квадратичную уравнение:

y - 2y^2 + y^3 + y^2 - y^3 = -30 - 60y - 30y^2

y - y^2 = -30 - 60y - 30y^2

Объединим все слагаемые в одну сторону:

30y^2 + 31y + 30 = 0 ---(уравнение 4)

Теперь мы имеем квадратное уравнение относительно y. Мы можем решить это уравнение, используя квадратное уравнение. Давайте воспользуемся формулой дискриминанта:

Дискриминант (D) = b^2 - 4ac

Для нашего уравнения 4, a = 30, b = 31 и c = 30. Подставим эти значения в формулу:

D = 31^2 - 4 * 30 * 30

D = 961 - 3600

D = -2639

Поскольку дискриминант отрицательный, это означает, что у нас нет реальных корней уравнения. Следовательно, данная система уравнений не имеет решений.

Ответ: Данная система уравнений не имеет решений.