Question

Отметьте на координатной плоскости точки: A(-3,2), B(3,-4), C(-1,7), D(5,1). Запишите координаты точки пересечения отрезка AB и прямой CD

Answer 1

С помощью векторов, построенных из данных точек, можно узнать, что они коллинеарны, так как координаты векторов равны, а если вектора коллинеарны, прямые никогда не пересекутся.

Answer 2

Давайте начнем с отметки точек A(-3,2), B(3,-4), C(-1,7), D(5,1) на координатной плоскости.

Координаты точки A(-3,2) будут соответствовать x = -3 и y = 2. Таким образом, мы отмечаем точку A слева от начала координат (в отрицательном направлении x) и выше нулевой линии y.

Точка B(3,-4) находится справа от начала координат (в положительном направлении x) и ниже нулевой линии y.

Точка C(-1,7) лежит слева от начала координат и выше нулевой линии y.

Точка D(5,1) находится справа от начала координат и выше нулевой линии y.

Теперь, чтобы найти точку пересечения отрезка AB и прямой CD, нужно найти уравнение прямой CD и затем решить систему уравнений.

Уравнение прямой можно найти, используя формулу наклона (slope-intercept form) y = mx + b, где m - наклон прямой, а b - y-перехват (точка, где прямая пересекает ось y).

Наклон прямой CD (m_CD) можно найти по формуле: \[ m_CD = \frac{y_D - y_C}{x_D - x_C} \]

Где (x_C, y_C) - координаты точки C, а (x_D, y_D) - координаты точки D.

Подставим значения: \[ m_CD = \frac{1 - 7}{5 - (-1)} = \frac{-6}{6} = -1 \]

Теперь, чтобы найти y-перехват (b_CD), можно использовать одну из точек C или D. Давайте возьмем точку C(-1,7). \[ y = mx + b_CD \] \[ 7 = (-1)(-1) + b_CD \] \[ 7 = 1 + b_CD \] \[ b_CD = 6 \]

Таким образом, уравнение прямой CD будет: \[ y = -x + 6 \]

Теперь, чтобы найти точку пересечения отрезка AB и прямой CD, решим систему уравнений: \[ y = -x + 6 \] (уравнение прямой CD) \[ y = mx + b \] (уравнение отрезка AB, где m - наклон отрезка AB, который можно найти также по формуле наклона)

Угловой коэффициент отрезка AB (m_AB) можно найти так: \[ m_AB = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \]

Где (x_A, y_A) - координаты точки A, а (x_B, y_B) - координаты точки B. \[ m_AB = \frac{(-4) - 2}{3 - (-3)} = \frac{-6}{6} = -1 \]

Таким образом, уравнение отрезка AB будет: \[ y = -x + b_AB \]

Теперь, чтобы найти y-перехват (b_AB), используем координаты точки A(-3,2): \[ 2 = (-1)(-3) + b_AB \] \[ 2 = 3 + b_AB \] \[ b_AB = -1 \]

Таким образом, уравнение отрезка AB: \[ y = -x - 1 \]

Теперь мы решим систему уравнений: \[ y = -x + 6 \] \[ y = -x - 1 \]

Решая эту систему, найдем значения x и y для точки пересечения отрезка AB и прямой CD.