Question

Помогите пожалуйста решить дифференциальное уравнение y’’ – 2y’ = eˆx (xˆ2 + x – 3), y(0) = 2, y’(0) = 2

Answer 1

Общее решение однородного уравнения: 
y'' - 2y' = 0
подставляем решение в виде exp(λx), получаем характеристическое уравнение
λ^2 - 2λ = 0,
откуда λ = 0 или λ = 2.
Общее решение однородного уравнения y0 = C1 + C2 exp(2x)

Частное решение ищем в виде y(x) = exp(x) * (-a x^2 + bx + c)
y'' + 2y = exp(x) * (ax^2 - bx - 2a - c) должно быть тождественно равно exp(x) * (x^2 + x - 3), откуда a = 1, b = -1, c = 1
Частное решение y1(x) = -exp(x) * (x^2 + x - 1)

Общее решение неоднородного уравнения - сумма общего решения однородного + любого частного неоднородного
y(x) = y0(x) + y1(x) = C1 + C2 exp(2x) - exp(x) * (x^2 + x - 1)

Answer 2

Данное дифференциальное уравнение имеет вид:

\[y'' - 2y' = e^x (x^2 + x - 3), \quad y(0) = 2, \quad y'(0) = 2\]

Для начала, представим \(e^x (x^2 + x - 3)\) в виде частного решения неоднородного уравнения. После этого найдем общее решение соответствующего однородного уравнения и сложим его с частным решением, чтобы получить полное решение дифференциального уравнения.

1. Частное решение неоднородного уравнения: Так как правая часть уравнения имеет вид \(e^x (x^2 + x - 3)\), попробуем искать частное решение в виде многочлена второй степени, умноженного на экспоненту \(e^x\). Предположим, что частное решение имеет вид:

\[y_p = (Ax^2 + Bx + C) e^x\]

Теперь найдем производные первого и второго порядка от \(y_p\) для подстановки и нахождения констант \(A\), \(B\) и \(C\):

\[y'_p = e^x (2Ax + Ax^2 + Bx + C + B)\] \[y''_p = e^x (2A + 2Ax + Ax^2 + Bx + C + 2B)\]

Подставим эти выражения в исходное уравнение: \[y'' - 2y' = e^x (2A + 2Ax + Ax^2 + Bx + C + 2B) - 2(e^x (2Ax + Ax^2 + Bx + C + B))\]

Сгруппируем по степеням \(x\) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях \(x\) к соответствующим частям правой части уравнения \(e^x (x^2 + x - 3)\). Это позволит найти значения \(A\), \(B\) и \(C\).

После вычислений можно получить значения \(A = -1\), \(B = 2\) и \(C = -3\).

Таким образом, частное решение неоднородного уравнения будет иметь вид: \[y_p = (-x^2 + 2x - 3) e^x\]

2. Общее решение однородного уравнения: Для решения однородной части уравнения \(y'' - 2y' = 0\) найдем характеристическое уравнение:

\[r^2 - 2r = 0\] \[r(r - 2) = 0\] \[r_1 = 0, \quad r_2 = 2\]

Общее решение однородного уравнения имеет вид: \[y_h = C_1 e^{0 \cdot x} + C_2 e^{2x}\] \[y_h = C_1 + C_2 e^{2x}\]

3. Полное решение дифференциального уравнения: Сложим частное решение \(y_p\) и общее решение однородного уравнения \(y_h\), чтобы получить полное решение:

\[y = y_h + y_p\] \[y = C_1 + C_2 e^{2x} + (-x^2 + 2x - 3) e^x\]

Теперь, используя начальные условия \(y(0) = 2\) и \(y'(0) = 2\), найдем константы \(C_1\) и \(C_2\).

Подстановка \(x = 0\) и \(y(0) = 2\) дают: \[2 = C_1 + C_2 e^0 + (-0^2 + 2 \cdot 0 - 3) e^0\] \[2 = C_1 + C_2 - 3\]

Подстановка \(x = 0\) и \(y'(0) = 2\) дают: \[y' = C_2 \cdot 2 e^{2x} + e^x (-2x + 2) = 2 + 0 - 0\] \[2 = C_2 \cdot 2 e^0 + e^0(-2 \cdot 0 + 2)\] \[2 = 2C_2 + 2\] \[C_2 = 0\]

Подставим \(C_2 = 0\) в уравнение \(2 = C_1 + C_2 - 3\): \[2 = C_1 + 0 - 3\] \[C_1 = 5\]

Таким образом, полное решение дифференциального уравнения:

\[y = 5 + 0 \cdot e^{2x} + (-x^2 + 2x - 3) e^x\] \[y = 5 - x^2 + 2x - 3e^x\]