Question

В поход пошли 10 человек, младше всех остальных был Гриша. Он нашёл сумму возрастов остальных участников похода и поделил на сумму возрастов всех десяти человек. Мог ли Гриша получить число меньше, чем 0,9?

Answer 1

Обозначим возраст Гриши за x1, возраст остальных соответственно x2, x3, ..., x10. Из условия x2>x1, x3>x1, ..., x10>x1. Отношение, которое посчитал Гриша, равно (x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)/(x1+x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10)=a/(x1+a), где a=x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10.
Попробуем решить неравенство a/(x1+a)<0,9,
10a/(x1+a)<9,
(a-9x1)/(x1+a)<0 (*),
т.к. x1+a>0, то неравенство (*) равносильно неравенству a-9x1<0⇒9x1>a⇒9x1>x2+x3+x4+x5+x6+x7+x8+x9+x10, что невозможно, так как x2>x1,
x3>x1,
...
x10>x1,
значит x2+x3+...+x10>9x1, что противоречит 9x1<a. Т.е. Гриша не мог получить число меньше, чем 0,9.

Answer 2

Давайте предположим, что возрасты остальных участников похода равны a1, a2, ..., a9, а возраст Гриши равен a10.

Сумма возрастов остальных участников похода равна a1 + a2 + ... + a9. Сумма возрастов всех десяти человек равна a1 + a2 + ... + a9 + a10.

Теперь рассмотрим, какое наименьшее значение может принимать выражение (a1 + a2 + ... + a9) / (a1 + a2 + ... + a9 + a10).

Чтобы получить наименьшее значение, нужно максимизировать числитель и минимизировать знаменатель.

Максимальное значение числителя достигается, когда все возрасты остальных участников похода равны 0. В этом случае числитель равен 0.

Минимальное значение знаменателя достигается, когда возраст Гриши равен 0, а все остальные возрасты положительны. В этом случае знаменатель равен сумме положительных чисел, то есть больше 0.

Таким образом, наименьшее значение выражения (a1 + a2 + ... + a9) / (a1 + a2 + ... + a9 + a10) равно 0.

Следовательно, Гриша не может получить число меньше, чем 0,9.