Question

∫(cosxcos4x-sinxsin4x)dx-Даю 50 баллов!!

Answer 1

Прилагаю листочек..........................

Answer 2

Спасибо за вопрос! Чтобы решить данный интеграл, можно воспользоваться формулой произведения синусов и косинусов:

∫(cos(x)cos(4x) - sin(x)sin(4x)) dx

Согласно формуле произведения синусов и косинусов, можно записать:

cos(a - b) = cos(a)cos(b) + sin(a)sin(b)

Применяя эту формулу, мы можем переписать наш интеграл следующим образом:

∫(cos(x)cos(4x) - sin(x)sin(4x)) dx = ∫cos(x)cos(4x) dx - ∫sin(x)sin(4x) dx

Теперь разобьем это на два отдельных интеграла:

Первый интеграл: ∫cos(x)cos(4x) dx

Для этого интеграла можно использовать формулу произведения косинусов:

cos(a)cos(b) = (1/2) * [cos(a - b) + cos(a + b)]

В данном случае, a = x, b = 4x. Подставим значения в формулу и проинтегрируем:

∫cos(x)cos(4x) dx = ∫(1/2) * [cos(x - 4x) + cos(x + 4x)] dx = (1/2) * ∫[cos(-3x) + cos(5x)] dx = (1/2) * [∫cos(-3x) dx + ∫cos(5x) dx] = (1/2) * [1/(-3) * sin(-3x) + 1/5 * sin(5x)] + C = (-1/6) * sin(-3x) + (1/10) * sin(5x) + C

Второй интеграл: ∫sin(x)sin(4x) dx

Для этого интеграла также можно использовать формулу произведения синусов:

sin(a)sin(b) = (1/2) * [cos(a - b) - cos(a + b)]

В данном случае, a = x, b = 4x. Подставим значения в формулу и проинтегрируем:

∫sin(x)sin(4x) dx = ∫(1/2) * [cos(x - 4x) - cos(x + 4x)] dx = (1/2) * ∫[cos(-3x) - cos(5x)] dx = (1/2) * [-∫cos(-3x) dx + ∫cos(5x) dx] = (1/2) * [-1/(-3) * sin(-3x) + 1/5 * sin(5x)] + C = (1/6) * sin(-3x) - (1/10) * sin(5x) + C

Теперь объединим результаты двух интегралов:

∫(cos(x)cos(4x) - sin(x)sin(4x)) dx = (-1/6) * sin(-3x) + (1/10) * sin(5x) + (1/6) * sin(-3x) - (1/10) * sin(5x) + C = 0 + 0 + C = C

Таким образом, окончательный ответ на интеграл ∫(cos(x)cos(4x) - sin(x)sin(4x)) dx равен C.