Question

Найти 2 производную(х+cos 1/x^2)''

Answer 1

$(x+\cos(1/x^2))''=x''+(\cos(1/x^2))''=(\cos x^{-2})''=(2x^{-3}\sin x^{-2})'=\\=-6x^{-4}\sin x^{-2}+2x^{-3}\cdot(-2x^{-3})\cos x^{-2}=-\dfrac{6x^2\sin x^{-2}+4\cos x^{-2}}{x^6}$

Answer 2

Найдем первую производную
$(x+cos \frac{1}{x^2})' = (x)'+(cos \frac{1}{x^2})'=1-sin\frac{1}{x^2}*(-2x^{-3})=$
$= 1+(2x^{-3})*sin\frac{1}{x^2}$

Найдем вторую производную
$(1+(2x^{-3})*sin\frac{1}{x^2})' = (1)'+((2x^{-3})*sin\frac{1}{x^2})' = ((2x^{-3})*sin\frac{1}{x^2})'=$
$= (2x^{-3})'*sin\frac{1}{x^2} + (2x^{-3})* (sin\frac{1}{x^2})'=$
$= -6x^{-4} * sin\frac{1}{x^2} + 2x^{-3}* cos\frac{1}{x^2}*(-2x^{-3}) =$
$= -6x^{-4} * sin\frac{1}{x^2} - 4x^{-6}* cos\frac{1}{x^2}$

Answer 3

Конечно, я помогу с нахождением второй производной функции \( f(x) = x \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \).

Для начала найдем первую производную функции \( f(x) \) по переменной \( x \):

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \right] \]

Для нахождения производной произведения функций применим правило производной произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \), где \( u = x \) и \( v = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \):

\[ f'(x) = 1 \cdot \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) + x \cdot \left( -\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) \]

Для нахождения производной \( \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) \) применим правило дифференцирования степенной функции \( \frac{d}{dx}\left(x^n\right) = nx^{n-1} \):

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \]

Теперь подставим это обратно в производную \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) - x \sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) \] \[ f'(x) = \cos\left(\frac{1}{x^2}\right) + \frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} \]

Теперь найдем вторую производную, взяв производную от \( f'(x) \):

\[ f''(x) = \frac{d}{dx} \left[\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) + \frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right] \]

Производная суммы функций равна сумме производных этих функций:

\[ f''(x) = -\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right) \]

\[ f''(x) = -\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right) \]

Посчитаем производную \( \frac{d}{dx}\left(\frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right) \):

\[ \frac{d}{dx}\left(\frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right) = 2 \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right) \] \[ = 2 \cdot \left(\frac{\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot x^2 - 2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^4}\right) \] \[ = 2 \cdot \left(\frac{\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot (-2x^{-3}) \cdot x^2 - 2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^4}\right) \] \[ = 2 \cdot \left(\frac{-2\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) + 2x^{-1}\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2}\right) \] \[ = \frac{-4\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) + 4\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} \]

Таким образом, вторая производная функции \( f(x) \) равна:

\[ f''(x) = -\sin\left(\frac{1}{x^2}\right) \cdot \left(-\frac{2}{x^3}\right) + \frac{-4\cos\left(\frac{1}{x^2}\right) + 4\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} \] \[ f''(x) = \frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^3} - \frac{4\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} + \frac{4\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} \] \[ f''(x) = \frac{2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^3} - \frac{4\cos\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} + \frac{4\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)}{x^2} \]

Это и есть вторая производная функции \( f(x) \).