Question

Найти решения уравнения y"=2xe^x^2 , удовлетворяющие начальному условию y(0)=1

Answer 1

Y''=2xexp(x2)
Пусть u = y'
Тогда
u' = 2xexp(x2)
du/dx = (exp(x2))'
du = (exp(x2))'dx
u = expx2+c

y' = expx2+c

y = инт (exp(x2)) +c = 1/2vpi erfi(x) + C1*x+C
y(0) = 1
C = 1

Answer 2

Данное уравнение является линейным неоднородным уравнением второго порядка. Чтобы найти его решения, мы можем воспользоваться методом вариации постоянных.

Предположим, что решение уравнения имеет вид y(x) = u(x) * v(x), где u(x) и v(x) - неизвестные функции.

Тогда подставим это предположение в исходное уравнение: (u''(x) * v(x) + 2u'(x) * v'(x) + u(x) * v''(x)) = 2x * e^(x^2)

Теперь продифференцируем полученное уравнение дважды по x: u''(x) * v(x) + 2u'(x) * v'(x) + u(x) * v''(x) + 2u'(x) * v'(x) + 2u(x) * v''(x) = 2 * e^(x^2) + 2x * e^(x^2)

Упростим это уравнение: u''(x) * v(x) + 4u'(x) * v'(x) + 2u(x) * v''(x) = 2 * e^(x^2) + 2x * e^(x^2)

Теперь заметим, что первое слагаемое в левой части уравнения равно нулю, так как u(x) и v(x) - неизвестные функции. Значит, мы получаем следующее уравнение: 4u'(x) * v'(x) = 2 * e^(x^2) + 2x * e^(x^2)

Разделим обе части уравнения на 2e^(x^2): 2u'(x) * v'(x) = e^(x^2) + x * e^(x^2)

Теперь проинтегрируем обе части уравнения по x: ∫ 2u'(x) * v'(x) dx = ∫