Question

3 sin 2x - 6 соs x =0

Answer 1

3sin2x - 6cosx = 0
3·2sinx·cosx - 6cosx = 0
6cosx (sinx - 1) = 0
cosx (sinx - 1) = 0

Произведение двух чисел равно 0, значит, одно из чисел должно быть равно 0. Однако заметим, что если sinx = 1, то cosx = √(1-sin²x) = √(1-1) = 0. Т.о., если второй сомножитель равен 0, то первый сомножитель также равен 0 (обратное не верно, т.к при cosx=0 sinx может быть равен -1 и тогда второй сомножитель будет равен -2). Значит, достаточно решить уравнение на равенство 0 первого сомножителя, т.е. cosx:

cosx = 0 ⇔ x = π/2 + πk, k ∈ Ζ

Ответ: x = π/2 + πk, k∈Ζ

Answer 2

Для решения уравнения \(3 \sin(2x) - 6 \cos(x) = 0\), давайте разберемся с ним пошагово.

1. Преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

\[3 \sin(2x) - 6 \cos(x) = 0\]

Используем тождество для удвоенного угла \(\sin(2x) = 2\sin(x)\cos(x)\):

\[3 (2\sin(x)\cos(x)) - 6 \cos(x) = 0\]

Теперь вынесем общий множитель \(\cos(x)\):

\[6\sin(x)\cos(x) - 6\cos(x) = 0\]

2. Вынесем \(-6\cos(x)\) как общий множитель:

\[6\cos(x)(\sin(x) - 1) = 0\]

Теперь у нас есть произведение двух множителей, и мы знаем, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим уравнения для каждого множителя:

a) \(6\cos(x) = 0\)

Это уравнение имеет решение \(\cos(x) = 0\), что означает, что угол \(x\) может быть любым кратным \(\frac{\pi}{2}\), например, \(x = \frac{\pi}{2}k\), где \(k\) - целое число.

b) \(\sin(x) - 1 = 0\)

Это уравнение имеет решение \(\sin(x) = 1\), что означает, что угол \(x\) равен \(\frac{\pi}{2} + 2\pi k\), где \(k\) - целое число.

Таким образом, общее решение уравнения \(3 \sin(2x) - 6 \cos(x) = 0\) это объединение решений из пункта (a) и (b):

\[x = \frac{\pi}{2}k \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k\]

где \(k\) - целое число.