Question

Докажите, что функция F(x)=x в квадрате+2+sinx-7 является первообразной для функции f(x)=2x+cosx

Answer 1

$F'(x)=f(x);(x^2+sinx-7)'=2x+cosx$
Равенство верно, значит F(x) - первообразная функции f(x)

Answer 2

Для того чтобы доказать, что функция F(x) = x^2 + 2sinx - 7 является первообразной для функции f(x) = 2x + cosx, мы должны показать, что производная функции F(x) равна функции f(x).

Нахождение производной функции F(x):

Для нахождения производной функции F(x), мы должны применить правила дифференцирования к каждому слагаемому в функции F(x).

Производная слагаемого x^2 равна 2x, так как это является степенной функцией. Производная слагаемого 2sinx равна 2cosx, так как это является производной синуса. Производная константы -7 равна 0, так как константа не зависит от переменной x.

Теперь, найдем производную функции F(x) путем сложения производных каждого слагаемого:

F'(x) = (2x) + (2cosx) + 0 F'(x) = 2x + 2cosx

Сравнение производной функции F(x) с функцией f(x):

Теперь, нам нужно сравнить полученную производную F'(x) с функцией f(x) = 2x + cosx.

Мы можем видеть, что производная функции F(x) равна функции f(x), так как F'(x) = 2x + 2cosx, и f(x) = 2x + cosx.

Следовательно, мы можем заключить, что функция F(x) = x^2 + 2sinx - 7 является первообразной для функции f(x) = 2x + cosx.

Это доказывает, что интеграл функции f(x) равен функции F(x) плюс константа.