Question

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40^50⋅50^40?

Answer 1

Задание № 1:

Найдите последнюю ненулевую цифру значения произведения 40^50*50^40?

РЕШЕНИЕ:

$40^{50}*50^{40}=4^{50}*10^{50}*5^{40}*10^{40}= (2^2)^{50}*5^{40}*10^{50}*10^{40}= \\ =2^{100}*5^{40}*10^{90} =2^{60}*2^{40}*5^{40}*10^{90} = \\ =2^{60}*10^{40}*10^{90}=2^{60}*10^{130}$

10^130 нас не интересует. Попробуем повозводить 2 в степень:

2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16, 2^5=32

Пятая степень, как и первая, оканчивается на 2. Образуется своего рода цикл.

Чтобы узнать последнюю цифру степени N, нужно N разделить на 4. Остаток от деления соответствует степени, последняя цифра которой совпадает с последней цифрой степени N. Остаток 0 соответствует 4-ой степени.

60/4=15, остаток 0 – 4 степень оканчивается на 6, значит и 60 степень оканчивается на 6

ОТВЕТ: 6

Answer 2

Для нахождения последней ненулевой цифры произведения 40^50⋅50^40, мы можем разложить каждый из множителей на простые множители и затем перемножить их.

Сначала разложим 40 и 50 на простые множители:

40 = 2^3 * 5 50 = 2 * 5^2

Теперь вычислим произведение:

(2^3 * 5)^50 * (2 * 5^2)^40

(2^150 * 5^50) * (2^40 * 5^80)

Теперь перемножим степени двоек и пятерок:

2^(150+40) * 5^(50+80)

2^190 * 5^130

Теперь мы можем заметить, что чтобы получить ненулевую цифру в конце числа, необходимо иметь 10 в качестве множителя. То есть, нам нужно найти минимальную степень десяти, которая содержится в произведении.

10 = 2 * 5

Таким образом, чтобы найти последнюю ненулевую цифру, нам нужно найти минимальную степень двойки и пятерки, которые содержатся в произведении. В данном случае, минимальная степень двойки равна 190, а минимальная степень пятерки равна 130.

Таким образом, последняя ненулевая цифра произведения 40^50⋅50^40 равна 10.