Question

Решить задачу найдите площадь прямоугольного треугольника если гипотенеза равна 12 см а радиус вписанной окружности равен 2 см

Answer 1

Радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен к касательной. 
Пусть треугольник АВС, угол С=90 град. О-центр вписанной окружности. Проведем радиусы ОК, ОМ, ОН, ОК=ОМ=ОН=2. 
ОМ перпендикулярно ВС, ОН перпендикулярен АС, ОК перпендикулярен АВ. Пусть МВ=х; тогда КВ=х, Ак=12-х; АН=12-х.
По т. Пифагора:  
(2+х)^2+(2+12-x)^2=12^2
4+4x+x^2+196-28x+x^2-144=0
2x^2-24x+56=0
x^2-12x+28=0 
x=2; х=12
АС=2; ВС=14
S(ABC)=1/2*AC*BC=1/2*2*14=14

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для площади прямоугольного треугольника, а также формулу для радиуса вписанной окружности. Давайте начнем с поиска площади прямоугольного треугольника.

Нахождение площади прямоугольного треугольника

Площадь прямоугольного треугольника можно найти, используя формулу: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \] где \(a\) и \(b\) - катеты треугольника.

В данном случае у нас есть гипотенуза и радиус вписанной окружности. Мы можем воспользоваться свойствами прямоугольного треугольника и вписанной окружности для нахождения катетов, а затем используем формулу для нахождения площади.

Нахождение катетов прямоугольного треугольника

Мы знаем, что радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен половине суммы катетов, то есть: \[ r = \frac{a + b - c}{2} \] где \(r\) - радиус вписанной окружности, \(a\) и \(b\) - катеты, \(c\) - гипотенуза.

Таким образом, мы можем найти сумму катетов: \[ a + b = 2r + c \] \[ a + b = 2 \times 2 + 12 = 16 \]

Теперь, зная сумму катетов, мы можем воспользоваться тем, что в прямоугольном треугольнике каждый катет равен половине произведения гипотенузы на соответствующий катет: \[ a = \frac{c \times b}{a + b} \] \[ b = \frac{c \times a}{a + b} \]

Нахождение площади прямоугольного треугольника

Теперь, когда у нас есть значения катетов, мы можем использовать формулу для нахождения площади: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b \]

Давайте вычислим эти значения.