Question

На ребрах A1B1 и A1C1 куба ABCDA1B1C1D1 со стороной 4 отмечены точки X и Y соответственно так, что A1X = A1Y = 1. Найдите площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки X, Y и центр куба.

Answer 1

Заданное сечение куба с ребром а = 4 представляет собой шестиугольник в виде двух трапеций, соединённых по большему основанию.
Длина меньших оснований равна √(1²+1²) = √2.
Большее основание равно длине диагонали грани куба, то есть 4√2.
Для определения высоты Н сечения проведём секущую плоскость по диагонали куба.
Н = √(4²+(4√2-(2*(√2/2)))²) = √(4²+(3√2)²) = √(16+18) = √34.
Тогда S = 2*((√2+4√2)/2)*(√34/2) = 5√17 кв.ед.

Answer 2

Чтобы найти площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки X, Y и центр куба, нужно найти расстояние от центра куба до этой плоскости.

Из условия задачи известно, что A1X = A1Y = 1. Так как сторона куба равна 4, то A1C1 = 3 (4 - 1 = 3).

Также известно, что A1B1 = 4, поскольку это сторона куба.

Таким образом, мы получаем прямоугольный треугольник A1C1B1, в котором известны два катета: A1C1 = 3 и A1B1 = 4.

Применим теорему Пифагора: гипотенуза квадрата равна сумме квадратов катетов.

Таким образом, BC = √(A1B1^2 - A1C1^2) = √(4^2 - 3^2) = √(16 - 9) = √7.

Теперь, чтобы найти расстояние от центра куба до плоскости, проходящей через точки X, Y и центр куба, нужно найти высоту треугольника A1C1B1, опущенную из вершины A1 на гипотенузу BC.

Высота треугольника A1C1B1 делит гипотенузу на две отрезка, пропорциональных длинам катетов. Так как A1C1 = 3 и A1B1 = 4, то высота будет равна (3/4) * √7.

Теперь мы знаем расстояние от центра куба до плоскости, проходящей через точки X, Y и центр куба. Оно равно (3/4) * √7.

Площадь сечения куба плоскостью, проходящей через точки X, Y и центр куба, равна площади основания куба (сторона куба в квадрате) умноженной на коэффициент пропорциональности, то есть (4^2) * (3/4) * √7 = 16 * (3/4) * √7 = 12√7.