Question

Log3(3x-1)+log3(3x-5)=1 пожалуйста помогите решить уравнение

Answer 1

$log_3(3x-1)+log_3(3x-5)=1\\\\D:3x-1 > 0\ \wedge\ 3x-5 > 0\\\\x > \frac{1}{3}\ \wedge\ x > \frac{5}{3}\\\\x\in\left(\frac{5}{3};\ \infty\right)$

$log_3\left[(3x-1)(3x-5)\right]=log_33\iff(3x-1)(3x-5)=3\\\\9x^2-15x-3x+5-3=0\\\\9x^2-18x+2=0\\\\\Delta=(-18)^2-4\cdot9\cdot2=324-72=252\\\\\sqrt\Delta=\sqrt{252}=\sqrt{36\cdot7}=6\sqrt7\\\\x_1=\frac{18-6\sqrt7}{2\cdot9}=\frac{3-\sqrt7}{3}\notin D;\ x_2=\frac{18+6\sqrt7}{2\cdot9}=\frac{3+\sqrt7}{3}\in D$

Answer 2

Дано уравнение:

$\log_3(3x-1) + \log_3(3x-5) = 1$

Для решения этого уравнения, мы можем использовать свойства логарифмов.

Применим свойства логарифмов

Свойство 1: $\log_a(b) + \log_a(c) = \log_a(b \cdot c)$

Мы можем использовать это свойство, чтобы объединить два логарифма в один:

$\log_3((3x-1) \cdot (3x-5)) = 1$

Теперь у нас есть:

$\log_3((3x-1)(3x-5)) = 1$

Используем свойство равенства логарифмов

Свойство 2: Если $\log_a(b) = c$, то $a^c = b$

Мы можем использовать это свойство, чтобы перевести логарифм в экспоненциальную форму:

$3^1 = (3x-1)(3x-5)$

Теперь у нас есть:

$3 = (3x-1)(3x-5)$

Решение уравнения

Для решения этого квадратного уравнения, мы можем раскрыть скобки и привести его к виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$3 = 9x^2 - 18x + 5$

Перепишем уравнение в виде:

$9x^2 - 18x + 2 = 0$

Теперь мы можем использовать квадратное уравнение для решения этого уравнения. Мы можем применить формулу дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac$

где $a = 9$, $b = -18$ и $c = 2$.

Вычислим дискриминант:

$D = (-18)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 2 = 324 - 72 = 252$

Так как дискриминант $D > 0$, у нас есть два различных действительных корня.

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

Подставим значения:

$x = \frac{-(-18) \pm \sqrt{252}}{2 \cdot 9} = \frac{18 \pm \sqrt{252}}{18}$

Теперь найдем два значения $x$:

$x_1 = \frac{18 + \sqrt{252}}{18}$

$x_2 = \frac{18 - \sqrt{252}}{18}$

Итак, уравнение $\log_3(3x-1) + \log_3(3x-5) = 1$ имеет два решения:

$x_1 = \frac{18 + \sqrt{252}}{18}$ и $x_2 = \frac{18 - \sqrt{252}}{18}$