Question

Log5(x(в кв)-1)-log5(x-1)=1

Answer 1

Log₅(x²-1)-log₅(x-1)=1   ОДЗ: x²-1>0  (x-1)(x+1)>0  x∈(-∞;-1)U(1;+∞)
log₅((x-1)(x+1)/(x-1))=1
log₅(x+1)=1
x+1=5¹
x=4 ∈ОДЗ
Ответ: x=4.

Answer 2

Для начала решим уравнение, которое вы предоставили.

Нахождение решения уравнения

Дано уравнение: $$ \log_5(x^2 - 1) - \log_5(x - 1) = 1 $$

Для начала объединим логарифмы с помощью свойства логарифмов: $$ \log_5\left(\frac{x^2 - 1}{x - 1}\right) = 1 $$

Теперь преобразуем логарифмическое уравнение в экспоненциальное: $$ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 5^1 $$

$$ \frac{x^2 - 1}{x - 1} = 5 $$

Перепишем уравнение в виде квадратного уравнения: $$ x^2 - 1 = 5x - 5 $$

Теперь приведем подобные слагаемые: $$ x^2 - 5x + 4 = 0 $$

Решим квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта: $$ D = b^2 - 4ac $$ $$ D = (-5)^2 - 4*1*4 = 25 - 16 = 9 $$

Так как дискриминант положительный, у нас есть два вещественных корня: $$ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm 3}{2} = \{1, 4\} $$

Проверка корней

Теперь проверим найденные корни, подставив их обратно в исходное уравнение: 1. При \(x = 1\): $$\log_5(1^2 - 1) - \log_5(1 - 1) = \log_5(0) - \log_5(0)$$ Нельзя взять логарифм от нуля, поэтому \(x = 1\) не подходит. 2. При \(x = 4\): $$\log_5(4^2 - 1) - \log_5(4 - 1) = \log_5(15) - \log_5(3) = 1$$ Таким образом, \(x = 4\) является корнем уравнения.

Ответ

Итак, уравнение \( \log_5(x^2 - 1) - \log_5(x - 1) = 1 \) имеет единственный корень: \(x = 4\).