Question

(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1)>=0 методом интервалов

Answer 1

$(b-1)(b+1)(b-1)(b^2+b+1)(b-1)(b+1)(b^2+1) \geq 0;$

$b^2+b+1\ \textgreater \ 0$ при всех b (можно, скажем, для доказательства этого проверить, что дискриминант отрицателен);

$b^2+1\ \textgreater \ 0$ при всех b - очевидно. Поэтому неравенство равносильно

$(b-1)^3(b+1)^2 \geq 0.$

Можно было бы решать методом интервалов, но давайте для разнообразия обойдемся без него.

$(b+1)^2$ всегда больше либо равно нуля, поэтому может повлиять на знак произведения только там, где обращается в ноль, а обращается оно в ноль  при b= - 1; это значение b входит в ответ. При прочих b эта скобка не влияет на знак произведения и поэтому может быть отброшена. Остается скобка $(b-1)^3,$ которая имеет тот же знак, что и (b-1).

Ответ: $\{-1\}\cup[1;+\infty)$

Замечание. Такие задачи можно решать еще проще. Надо только заметить, что знак выражения $(b^{2n+1}-1})$ совпадает со знаком выражения (b-1), а знак выражения $(b^{2n}-1})$ - со знаком 
$(b^2-1).$ После этого перестаешь бояться выражений вида 
$(b^5-1); \ (b^6-1);\ (b^{2016}-1);\ (b^{2017}-1)$ и так далее

Answer 2

Чтобы решить неравенство $(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1) \geq 0$ методом интервалов, мы можем разбить вещественную ось на интервалы, где выражение $(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1)$ принимает определенные значения. Затем мы можем определить, в каких интервалах выражение больше или равно нулю.

Давайте разберемся с каждым множителем по отдельности и найдем значения $b$, при которых каждый из них равен нулю:

1. Множитель $b^2-1$ равен нулю, когда $b = -1$ или $b = 1$. 2. Множитель $b^3-1$ равен нулю, когда $b = 1$. 3. Множитель $b^4-1$ равен нулю, когда $b = -1$ или $b = 1$.

Теперь мы можем построить таблицу значений выражения $(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1)$, используя значения $b$ в каждом интервале:

    b^2-1  |  b^3-1  |  b^4-1  |  (b^2-1)(b^3-1)(b^4-1)
-------------------------------------------------------
  b < -1   |  < 0    |  < 0    |       < 0
-------------------------------------------------------
  -1 < b < 1 |  < 0    |  > 0    |       > 0
-------------------------------------------------------
   b > 1    |  > 0    |  > 0    |       > 0

Из таблицы видно, что выражение $(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1)$ принимает отрицательные значения на интервале $b < -1$, положительные значения на интервале $-1 < b < 1$, и снова положительные значения на интервале $b > 1$.

Таким образом, решением неравенства $(b^2-1)(b^3-1)(b^4-1) \geq 0$ является множество значений $b$, которые принадлежат интервалам $(-\infty, -1] \cup (-1, 1) \cup [1, +\infty)$.