Question

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции: 1) f(x)=3x^2-12x+1 на [1;4] 2) f(x)=x^3-x^2-8x+9 на[0; 3]

Answer 1

1)
$f(x)=3x^2-12x+1$,     $[1;4]$
$f'(x)=(3x^2-12x+1)'=2*3x-12=6x-12$
$f'(x)=0$
$6x-12=0$
$6x=12$
$x=2$ ∈ $[1;4]$
$f(1)=3*1^2-12*1+1=-8$
$f(2)=3*2^2-12*2+1=12-24+1=-11$  - наименьшее значение
$f(4)=3*4^2-12*4+1=48-48+1=1$  - наибольшее значение

2)
$f(x)=x^3-x^2-8x+9$,     $[0;3]$
$f'(x)=(x^3-x^2-8x+9)'=3x^2-2x-8$
$f'(x)=0$
$3x^2-2x-8=0$
$D=(-2)^2-4*3*(-8)=4+96=100$
$x_1= \frac{2+10}{6}=2$ ∈ $[0;3]$
$x_2= \frac{2-10}{6}=- \frac{4}{3}$ ∉   $[0;3]$
$f(0)=0^3-0^2-8*0+9=9$  - наибольшее значение
$f(2)=2^3-2^2-8*2+9=8-4-16+9=-3$  - наименьшее значение
$f(3)=3^3-3^2-8*3+9=27-9-24+9=3$

Answer 2

Нахождение наибольших и наименьших значений функций

Для нахождения наибольших и наименьших значений функций на заданных интервалах, мы можем воспользоваться производными функций. Давайте начнем с первой функции.

1) f(x) = 3x^2 - 12x + 1 на интервале [1;4]

Для нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x) на интервале [1;4], мы можем воспользоваться методом производных. Сначала найдем производную функции f(x):

f'(x) = 6x - 12

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

6x - 12 = 0 6x = 12 x = 2

Теперь проверим значение производной в критической точке и на границах интервала [1;4]. Для этого найдем f'(1), f'(2) и f'(4):

f'(1) = 6*1 - 12 = -6 f'(2) = 6*2 - 12 = 0 f'(4) = 6*4 - 12 = 12

Теперь, используя вторую производную, мы можем определить, является ли точка x=2 точкой минимума или максимума. Найдем вторую производную:

f''(x) = 6

Так как f''(x) > 0 для всех x, мы можем заключить, что точка x=2 является точкой локального минимума функции f(x). Теперь найдем значения функции f(x) в точках x=1, x=2 и x=4:

f(1) = 3*1^2 - 12*1 + 1 = -8 f(2) = 3*2^2 - 12*2 + 1 = -11 f(4) = 3*4^2 - 12*4 + 1 = 13

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале [1;4] равно 13, а наименьшее значение равно -11.

2) f(x) = x^3 - x^2 - 8x + 9 на интервале [0; 3]

Для второй функции также найдем производную:

f'(x) = 3x^2 - 2x - 8

Теперь найдем критические точки, приравняв производную к нулю и решив уравнение:

3x^2 - 2x - 8 = 0

Далее, аналогично первой функции, мы можем использовать вторую производную, чтобы определить, является ли критическая точка точкой минимума или максимума. Найдем вторую производную:

f''(x) = 6x - 2

Определим знак второй производной в критической точке, чтобы понять, является ли она точкой локального минимума или максимума.

Теперь найдем значения функции f(x) в точках x=0, x=2 и x=3:

f(0) = 0^3 - 0^2 - 8*0 + 9 = 9 f(2) = 2^3 - 2^2 - 8*2 + 9 = 1 f(3) = 3^3 - 3^2 - 8*3 + 9 = 0

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале [0; 3] равно 9, а наименьшее значение равно 0.

**Ответ