Question

Исследовать на сходимость по простому или предельному признаку сравнения ∞ ∑ 2^n/(n+1)*3^n n=1

Answer 1

$\sum \limits _1^{\infty } \frac{2^{n}}{(n+1)\cdot 3^{n}} \\\\D'Alamber:\; \; \lim\limits _{n \to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_{n}} = \lim\limits _{n \to \infty} \frac{2^{n+1}}{(n+2)\cdot 3^{n+1}} : \frac{2^{n}}{(n+1)\cdot 3^{n}} =\\\\= \lim\limits _{n \to \infty} \frac{2^{n+1}\cdot (n+1)\cdot 3^{n}}{(n+2)\cdot 3^{n+1}\cdot 2^{n}} = \frac{2}{3} \ \textless \ 1\; \; \; \Rightarrow \; \; \; sxoditsya$

Answer 2

Для исследования сходимости ряда ∞ ∑ 2^n/(n+1)*3^n n=1 можно использовать предельный признак сравнения. Для этого нужно найти предел отношения общего члена данного ряда к общему члену сходящегося или расходящегося ряда, поведение которого известно. Например, можно сравнить данный ряд с геометрическим рядом ∞ ∑ q^n n=0, где q - постоянная, такая что |q| < 1. Тогда имеем:

lim n→∞ 2^n/(n+1)*3^n / q^n = lim n→∞ 2^n*3^n/(n+1) / q^n = lim n→∞ 6^n/(n+1) / q^n = lim n→∞ 6^n/q^n / (n+1) = lim n→∞ (6/q)^n / (n+1) = ∞

Поскольку предел равен бесконечности, то по предельному признаку сравнения, ряд ∞ ∑ 2^n/(n+1)*3^n n=1 расходится, так как он превосходит сходящийся геометрический ряд. Другой способ сравнения - использовать ряд обратных квадратов ∞ ∑ 1/n^2 n=1, который сходится. Тогда имеем:

lim n→∞ 2^n/(n+1)*3^n / 1/n^2 = lim n→∞ 2^n*3^n*n^2 / (n+1) = lim n→∞ 6^n*n^2 / (n+1) = ∞

Поскольку предел равен бесконечности, то по предельному признаку сравнения, ряд ∞ ∑ 2^n/(n+1)*3^n n=1 расходится, так как он превосходит сходящийся ряд обратных квадратов. Для более подробной информации о признаках сходимости рядов, вы можете посмотреть [Википедию](https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9F%D1%80%D0%B8%D0%B7%D0%BD%D0%B0%D0%BA_%D1%81%D1%85%D0%BE%D0%B4%D0%B8%D0%BC%D0%BE%D1%81%D1%82%D0%B8) или [Калькулятор сходимости ряда](https://mathforyou.net/online/calculus/series/convergence/).