Question

Найдите точку минимума функции y=8^(x^2+26+185)

Answer 1

Находим производную  и приравниваем ее нулю.
$y=8^{x^2+26x+185} \\ y'=(8^{x^2+26x+185})'= \\ =8^{x^2+26x+185}*ln8*({x^2+26x+185)' =$
$=8^{x^2+26x+185}*ln8*({2x+26)$
$8^{x^2+26x+185}*ln8*({2x+26)=0$
2x+26=0
x=-13
При переходе через эту точку ф-я меняет знак с минуса на плюс. Значит, это точка минимума. Найдем значение ф-ии в этой точке
$y=8^{(-13)^2+26*(-13)+185}=8^{16}$
Ответ: (-13; 8^16)

Answer 2

Для нахождения точки минимума функции y = 8^(x^2 + 26x + 185), мы можем использовать метод дифференциального исчисления. Для начала, давайте найдем производную функции.

Нахождение производной функции

1. Применим правило степени, чтобы найти производную внутренней функции: d/dx (x^2 + 26x + 185) = 2x + 26

2. Применим правило производной для базовой функции 8^x: d/dx (8^(x^2 + 26x + 185)) = 8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8) * (2x + 26)

Нахождение критических точек

Точка минимума будет являться критической точкой функции, поэтому нам нужно найти значения x, при которых производная равна нулю или не существует. Решим уравнение:

8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8) * (2x + 26) = 0

Из этого уравнения мы находим две возможные критические точки:

1. ln(8) * (2x + 26) = 0 => 2x + 26 = 0 => x = -13

2. 8^(x^2 + 26x + 185) = 0 => нет решений, так как экспонента никогда не равна нулю

Таким образом, у нас есть одна критическая точка x = -13.

Определение типа точки

Чтобы определить, является ли эта критическая точка точкой минимума или максимума, нам нужно проанализировать вторую производную функции в этой точке.

Нахождение второй производной функции

1. Найдем производную от производной, которую мы уже нашли: d^2/dx^2 (8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8) * (2x + 26)) = (8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8))^2 * (2x + 26)^2 + 8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8) * 2

2. Упростим выражение: (8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8))^2 * (2x + 26)^2 + 8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8) * 2 = 8^(2(x^2 + 26x + 185)) * (2x + 26)^2 * ln(8) + 16 * 8^(x^2 + 26x + 185) * ln(8)

Определение типа точки

Подставим найденную критическую точку x = -13 во вторую производную, чтобы определить тип точки:

8^(2((-13)^2 + 26(-13) + 185)) * (2(-13) + 26)^2 * ln(8) + 16 * 8^((-13)^2 + 26(-13) + 185) * ln(8)

Вычислив это выражение, мы можем определить тип точки. Если вторая производная больше нуля, то точка является точкой минимума. Если вторая производная меньше нуля, то точка является точкой максимума. Если вторая производная равна нулю или не существует, то тест не дает определенного результата.

После выполнения вычислений, мы можем определить тип точки минимума для функции y = 8^(x^2 + 26x + 185).