Question

Найти частное решение дифференциального уравнения

Answer 1

$\sqrt{y}dy+ x^3dx=0\\\\\int \sqrt{y}dy=-\int x^3dx\\\\\frac{y^{3/2}}{3/2}=-\frac{x^4}{4}+C\\\\\frac{2\sqrt{y^3}}{3}=-\frac{x^4}{4}+C\\\\y(1)=4\; \; \to \; \; \; \frac{2\sqrt{4^3}}{3}=-\frac{1}{4}+C\; ,\\\\\frac{2\cdot 2^3}{3}=-\frac{1}{4}+C\; \; \to \; \; C=\frac{16}{3}+\frac{1}{4}=\frac{64+3}{12}=\frac{67}{12}\\\\chastnoe\; reshenie:\; \; \frac{2\sqrt{y^3}}{3}=-\frac{x^4}{4}+\frac{67}{12} \; ,\\\\\sqrt{y^3}=-\frac{3x^4}{8}+\frac{67}{8}\\\\y^3=(\frac{67}{8}-\frac{3x^4}{8})^2\\\\y=\sqrt[3]{\frac{(67-3x^4)^2}{64}}$

Answer 2

Дифференциальное уравнение - это уравнение, которое связывает неизвестную функцию с её производными. Частное решение дифференциального уравнения - это конкретная функция, которая удовлетворяет уравнению.

Чтобы найти частное решение дифференциального уравнения, нужно знать его вид и начальные условия. Рассмотрим пример.

Пусть дано дифференциальное уравнение: y'' - 3y' + 2y = 0

Для нахождения частного решения этого уравнения, сначала найдем его общее решение. Для этого предположим, что искомая функция y(x) может быть представлена в виде степенного ряда: y(x) = Σ(a_n * x^n)

Теперь подставим эту функцию в исходное дифференциальное уравнение и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x к нулю: Σ(a_n * n * (n - 1) * x^(n - 2) - 3 * a_n * n * x^(n - 1) + 2 * a_n * x^n) = 0

Уравнение равенства коэффициентов при одинаковых степенях сводится к рекуррентному соотношению: a_n * n * (n - 1) - 3 * a_n * n + 2 * a_n = 0

Решая это уравнение, получим значения a_n. Зная эти значения, можно записать общее решение дифференциального уравнения.

Чтобы найти частное решение, необходимо также задать начальные условия. Например, пусть y(0) = 1 и y'(0) = 2. Подставим эти условия в общее решение и найдем значения a_n. Затем, используя эти значения, получим конкретное частное решение.

Таким образом, для нахождения частного решения дифференциального уравнения необходимо знать его вид, найти общее решение с помощью рекуррентного соотношения и задать начальные условия. После этого можно найти конкретное частное решение.