Question

Помогите, срочно, пожалуйста!!! Докажите, что последовательность (an) сводится к нулю: а) аn=(-1)^n/n; б) an=1/n^2; в) an=1000/корень из n

Answer 1

1.  limn→∞(-1)^n/n=0  так как это  убывающая по модулю последовательность -1,1/2,-1/3, 1/4
снизу ограниченная (по модулю)  нулем.
2.  последовательность 1, 1/4, 1/9  монотонно убывающая последовательность снизу ограниченная нулем и  меньшая любого а>0        1/n²<a  n>√a    →   предел 0
3. аналогично.  1000/√n<a   n>(1000/a)²

Answer 2

Давайте рассмотрим каждую из заданных последовательностей и докажем, что они стремятся к нулю.

а) аn = (-1)^n/n

Для доказательства того, что данная последовательность стремится к нулю, мы можем воспользоваться определением предела последовательности. Согласно определению, последовательность сходится к нулю, если для любого положительного числа ε существует такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности находятся в пределах ε-окрестности нуля.

В нашем случае, давайте возьмем произвольное положительное ε. Мы должны найти такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности |an| < ε.

Обратим внимание, что |an| = |-1|^n / |n| = 1 / |n|. Также заметим, что |n| > 0 для любого натурального числа n.

Теперь, давайте решим неравенство 1 / |n| < ε, чтобы найти значение N.

1 / |n| < ε 1 < ε * |n| 1 / ε < |n|

Итак, если мы возьмем N = 1 / ε, то для всех n > N, мы получим:

|an| = 1 / |n| < 1 / N = ε.

Таким образом, мы показали, что для любого положительного числа ε существует такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности |an| < ε. Следовательно, последовательность аn = (-1)^n/n сходится к нулю.

б) аn = 1/n^2

Для доказательства того, что данная последовательность стремится к нулю, мы также можем воспользоваться определением предела последовательности.

Возьмем произвольное положительное ε и найдем такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности |an| < ε.

Обратим внимание, что |an| = |1/n^2| = 1/n^2.

Теперь решим неравенство 1/n^2 < ε, чтобы найти значение N.

1/n^2 < ε n^2 > 1/ε n > sqrt(1/ε)

Итак, если мы возьмем N = sqrt(1/ε), то для всех n > N, мы получим:

|an| = 1/n^2 < 1/N^2 = ε.

Следовательно, последовательность аn = 1/n^2 сходится к нулю.

в) аn = 1000/корень из n

Для доказательства того, что данная последовательность стремится к нулю, мы также можем воспользоваться определением предела последовательности.

Возьмем произвольное положительное ε и найдем такой номер N, начиная с которого все элементы последовательности |an| < ε.

Обратим внимание, что |an| = |1000/корень из n| = 1000/корень из n.

Теперь решим неравенство 1000/корень из n < ε, чтобы найти значение N.

1000/корень из n < ε 1000 < ε * корень из n 1000^2 < ε^2 * n 1000000 / ε^2 < n

Итак, если мы возьмем N = 1000000 / ε^2, то для всех n > N, мы получим:

|an| = 1000/корень из n < 1000/корень из N = ε.

Следовательно, последовательность аn = 1000/корень из n сходится к нулю.

Таким образом, мы доказали, что все три заданные последовательности сводятся к нулю.