Question

В уравнении: х²+(2-а)х-а-3=0 найти а так, чтобы сумма квадратов его корней была наименьшей.

Answer 1

......................

Answer 2

Решение уравнения:

Для начала, найдем сумму квадратов корней уравнения.

У нас есть уравнение вида: \(x^2 + (2 - a)x - a - 3 = 0\).

Сумма квадратов корней \(x_1\) и \(x_2\) уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) равна \(x_1^2 + x_2^2\).

Мы можем использовать формулу Виета для нахождения суммы квадратов корней: - Сумма корней: \(x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}\) - Сумма квадратов корней: \(x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2\)

Подставим коэффициенты из уравнения в формулу Виета: - \(x_1 + x_2 = -\frac{2 - a}{1}\) - \(x_1^2 + x_2^2 = \left(-\frac{2 - a}{1}\right)^2 - 2(-a - 3)\)

Теперь наша задача - найти значение \(a\), при котором сумма квадратов корней будет минимальной.

Нахождение оптимального значения a:

Для минимизации суммы квадратов корней уравнения, мы можем воспользоваться методом дифференциального исчисления и найти минимум функции \(x_1^2 + x_2^2\) относительно \(a\).

Для этого найдем производную функции \(x_1^2 + x_2^2\) по \(a\) и приравняем ее к нулю, чтобы найти точку экстремума.

\[ \frac{d}{da} (x_1^2 + x_2^2) = \frac{d}{da} \left[ \left(-\frac{2 - a}{1}\right)^2 - 2(-a - 3) \right] \]

\[ \frac{d}{da} (x_1^2 + x_2^2) = -2(-2 + a) - 2 \]

Теперь найдем точку экстремума, приравняв производную к нулю:

\[ -2(-2 + a) - 2 = 0 \] \[ 4 - 2a - 2 = 0 \] \[ 2 - 2a = 0 \] \[ a = 1 \]

Таким образом, оптимальное значение \(a\) для минимизации суммы квадратов корней уравнения \(x^2 + (2 - a)x - a - 3 = 0\) равно 1.

Ответ: Итак, чтобы сумма квадратов корней уравнения \(x^2 + (2 - a)x - a - 3 = 0\) была наименьшей, необходимо в уравнении подставить \(a = 1\).