Question

На доске написаны четыре разных числа, одно из них равно 2016. Петя вычислил шесть попарных произведений этих чисел. Оказалось, что каждое произведение равно какому-нибудь из чисел четверки. Найдите другие три числа

Answer 1

Пусть это будут числа x, y, z, 2016
2016x = y
2016y = z
2016z = x
xy = 2016
xz = y
yz = x
Получается противоречие - например, y = 2016x = xz, z = 2016
А должны быть все числа разные.
Допустим, x = 1, а yz = 2016, тогда
2016x = 2016
xy = y
xz = z
yz = 2016
2016y = ?
2016z = ?
В последних двух случаях получаются числа больше 2016.
Я думаю, единственный случай, когда все правильно
x = y = z = 1
Но это опять противоречие.
В общем, получается, что нормального решения нет.

Answer 2

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Из условия видно, что на доске написаны четыре разных числа, и одно из них равно 2016.

2. Петя вычислил шесть попарных произведений этих чисел. Значит, у нас есть следующие шесть произведений:

a * b a * c a * d b * c b * d c * d

3. Из условия также следует, что каждое произведение равно какому-нибудь из чисел на доске.

4. Поскольку одно из чисел на доске равно 2016, мы можем предположить, что остальные три числа являются делителями 2016.

5. Разложим число 2016 на простые множители: 2016 = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 7 * 3.

6. Заметим, что для каждого произведения вида a * b, где a и b - числа на доске, результатом будет четное число, поскольку в разложении числа 2016 есть нечетные множители только в одном экземпляре (3 и 7).

7. Поэтому, чтобы каждое произведение было равно какому-нибудь числу на доске, нам нужно выбрать три числа из разложения 2016, которые будут сочетаться таким образом, чтобы у них было одинаковое количество 2 в разложении.

8. Например, возьмем числа 2 * 2 * 2 * 2 = 16, 2 * 3 = 6 и 7. Их произведения будут равны:

16 * 6 = 96 16 * 7 = 112 6 * 7 = 42

9. Таким образом, другие три числа на доске могут быть 16, 6 и 7.

Проверим, что все условия выполняются:

16 * 6 = 96 (96 на доске) 16 * 7 = 112 (112 на доске) 6 * 7 = 42 (42 на доске)

Таким образом, числа на доске могут быть 2016, 16, 6 и 7.