Question

Исследовать функцию y=-x^3+3x на экстремум , выпуклость и вогнутость , точку перегиба , наибольшее и наименьшее значение .... пожалуйста прошу , как можно подробнее...

Answer 1

Y`=-3x²+3=3(1-x)(1+x)=0
x=1  x=-1
              _                        +                         _
--------------------(-1)-----------------(1)-----------------------
убыв              min  возр            max  убыв
ymin=1-3=-2
ymax=-1+3=2
y``=-6x=0
x=0
               +                     _
------------------(0)---------------------
вогн вниз             выпук вверх
y(0)=0
(0;0) точка перегиба

Answer 2

Исследование функции y = -x^3 + 3x

Для исследования функции y = -x^3 + 3x на экстремумы, выпуклость и вогнутость, точку перегиба, а также наибольшее и наименьшее значение, мы можем использовать методы дифференциального исчисления.

Экстремумы функции

Чтобы найти экстремумы функции, мы должны найти точки, где производная функции равна нулю или не существует. Для функции y = -x^3 + 3x, найдем ее производную:

y' = -3x^2 + 3

Чтобы найти точки, где производная равна нулю, решим уравнение:

-3x^2 + 3 = 0

Решая это уравнение, получим два значения x: x = -1 и x = 1. Это означает, что функция имеет две стационарные точки: (-1, f(-1)) и (1, f(1)).

Чтобы определить, являются ли эти точки экстремумами, мы можем использовать вторую производную тест. Для этого найдем вторую производную функции:

y'' = -6x

Подставим значения x = -1 и x = 1 во вторую производную:

y''(-1) = -6(-1) = 6 y''(1) = -6(1) = -6

Если вторая производная положительна (y'' > 0), то это указывает на минимум функции. Если вторая производная отрицательна (y'' < 0), то это указывает на максимум функции.

Таким образом, точка (-1, f(-1)) является локальным максимумом, а точка (1, f(1)) является локальным минимумом функции y = -x^3 + 3x.

Выпуклость и вогнутость функции

Чтобы определить выпуклость и вогнутость функции, мы можем использовать вторую производную. Если вторая производная положительна на всем интервале, то функция выпуклая. Если вторая производная отрицательна на всем интервале, то функция вогнутая.

Мы уже вычислили вторую производную функции:

y'' = -6x

Так как вторая производная отрицательна на всем интервале (-∞, +∞), то функция y = -x^3 + 3x является вогнутой.

Точка перегиба

Точка перегиба функции находится в месте, где вторая производная меняет знак. В данном случае, у нас нет точки перегиба, так как вторая производная всегда отрицательна.

Наибольшее и наименьшее значение функции

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, мы можем подставить найденные экстремумы и концы интервала в функцию и выбрать наибольшее и наименьшее значение.

Для функции y = -x^3 + 3x, наибольшее значение будет соответствовать локальному минимуму, а наименьшее значение - локальному максимуму.

Подставим значения x = -1 и x = 1 в функцию:

f(-1) = -(-1)^3 + 3(-1) = -2 f(1) = -(1)^3 + 3(1) = 2

Таким образом, наибольшее значение функции y = -x^3 + 3x равно 2, а наименьшее значение равно -2.

Вывод

Исследовав функцию y = -x^3 + 3x, мы определили, что она имеет локальный максимум в точке (-1, -2) и локальный минимум в точке (1, 2). Функция является вогнутой и не имеет точки перегиба. Наибольшее значение функции равно 2, а наименьшее значение равно -2.

Примечание: Пожалуйста, обратите внимание, что информация, предоставленная выше, основана на математических расчетах и может быть проверена с использованием указанных источников