Question

Доказать что (5^5x+1)+(4^5x+2)+(3^5x) делится на 11,при любом целом,положительном x (^ значит в степени)

Answer 1

Попробуем доказать по индукции.
5^(5x+1) + 4^(5x+2) + 3^(5x) = 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x)
При x = 0 будет 5*5^0 + 16*5^0 + 3^0 = 5 + 16 + 1 = 22 = 2*11 - делится на 11.
Пусть при каком-то x это верно, докажем, что это верно и при x+1
5^(5x+5+1) + 4^(5x+5+2) + 3^(5x+5) = 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) =
= 5^6*5^(5x) + 4^7*4^(5x) + 3^5*3^(5x) = 15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x)
Вычтем из него нашу сумму 5*5^(5x) + 16*4^(5x) + 3^(5x), которая делится на 11,
и проверим, делится ли на 11 разность.
15625*5^(5x) + 16384*4^(5x) + 243*3^(5x) - 5*5^(5x) - 16*4^(5x) - 3^(5x) =
= 15620*5^(5x) + 16368*4^(5x) + 242*3^(5x) =
= 11*1420*5^(5x) + 11*1488*4^(5x) + 11*22*3^(5x)
Все три коэффициента делятся на 11, значит, и разность делится на 11, и
следующий член последовательности 5^(5x+6) + 4^(5x+7) + 3^(5x+5) делится на 11.

Answer 2

Для доказательства того, что выражение (5^(5x+1)) + (4^(5x+2)) + (3^(5x)) делится на 11 при любом целом положительном значении x, мы можем использовать теорию остатков.

Остатки чисел при делении на 11

Для начала, рассмотрим остатки чисел при делении на 11:

- 5^0 = 1 (mod 11) - 5^1 = 5 (mod 11) - 5^2 = 3 (mod 11) - 5^3 = 4 (mod 11) - 5^4 = 9 (mod 11) - 5^5 = 1 (mod 11)

- 4^0 = 1 (mod 11) - 4^1 = 4 (mod 11) - 4^2 = 5 (mod 11) - 4^3 = 9 (mod 11) - 4^4 = 3 (mod 11) - 4^5 = 1 (mod 11)

- 3^0 = 1 (mod 11) - 3^1 = 3 (mod 11) - 3^2 = 9 (mod 11) - 3^3 = 5 (mod 11) - 3^4 = 4 (mod 11) - 3^5 = 1 (mod 11)

Рассмотрение выражения

Теперь, давайте рассмотрим данное выражение (5^(5x+1)) + (4^(5x+2)) + (3^(5x)) и попробуем показать, что оно делится на 11 при любом целом положительном значении x.

Мы можем заметить, что каждый из трех членов выражения может быть представлен в виде степени числа 5, 4 или 3. Каждый из этих чисел имеет период 5 в остатках при делении на 11.

Теперь, давайте рассмотрим остатки выражения при делении на 11:

- (5^(5x+1)) % 11: Этот член выражения будет иметь остаток 5 (mod 11) при любом положительном целом значении x, так как 5^(5x+1) имеет остаток 5 (mod 11).

- (4^(5x+2)) % 11: Этот член выражения будет иметь остаток 9 (mod 11) при любом положительном целом значении x, так как 4^(5x+2) имеет остаток 9 (mod 11).

- (3^(5x)) % 11: Этот член выражения будет иметь остаток 3 (mod 11) при любом положительном целом значении x, так как 3^(5x) имеет остаток 3 (mod 11).

Доказательство

Теперь, объединим все три остатка:

(5^(5x+1)) % 11 + (4^(5x+2)) % 11 + (3^(5x)) % 11

= 5 (mod 11) + 9 (mod 11) + 3 (mod 11)

= 17 (mod 11)

= 6 (mod 11)

Мы видим, что остаток от выражения равен 6 (mod 11). Это означает, что остаток от выражения при делении на 11 всегда будет равен 6, независимо от значения x.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что выражение (5^(5x+1)) + (4^(5x+2)) + (3^(5x)) делится на 11 при любом целом положительном значении x.