Question

Используя алгоритм исследуйте функцию y=(x-5)^2*(2x+8) на монотонность и экстремумы

Answer 1

Исследовать заданную функцию на монотонность и экстремумы: y=2x^2-3x+5
Экстремумы - это точки, в которых производная равна 0.
y ' = 4x - 3 = 0, x = 3/4, y(3/4) = 2*9/16 - 3*3/4 + 5 = 9/8 - 9/4 + 5 = 31/8
Ветви направлены вверх, поэтому функция убывает на (-оо, 3/4) и возрастает на (3/4, +оо)

Answer 2

Для исследования функции y=(x-5)^2*(2x+8) на монотонность и экстремумы, мы должны проанализировать ее производные и точки, где они равны нулю.

1. Найдем первую производную функции: y' = 2(x-5)*(2x+8) + (x-5)^2 * 2 y' = 4x^2 - 10x + 16x - 40 + 2x^2 - 10x + 25 y' = 6x^2 + 6x - 15

2. Найдем точки, где производная равна нулю: 6x^2 + 6x - 15 = 0

Мы можем решить это уравнение с помощью квадратного корня или факторизации: 6x^2 + 6x - 15 = (2x - 3)(3x + 5) = 0

Таким образом, получим две точки, где производная равна нулю: 2x - 3 = 0 => x = 3/2 3x + 5 = 0 => x = -5/3

3. Изучим знак производной в интервалах между найденными точками и за пределами их.

Построим таблицу знаков производной: x < -5/3 | -5/3 < x < 3/2 | x > 3/2 ---------------------------------------------- (-) | (+) | (+)

4. Определим монотонность функции в каждом из интервалов:

- На интервале x < -5/3 функция убывает. - На интервале -5/3 < x < 3/2 функция возрастает. - На интервале x > 3/2 функция также возрастает.

Таким образом, функция y=(x-5)^2*(2x+8) является монотонно возрастающей на всей числовой прямой.

5. Найдем экстремумы функции, то есть точки, где производная равна нулю.

Мы уже нашли точки, где производная равна нулю: x = 3/2 и x = -5/3. Подставим их в исходную функцию, чтобы найти соответствующие значения y:

При x = 3/2: y = (3/2 - 5)^2 * (2*(3/2) + 8) = (-7/2)^2 * (3 + 8) = 49/4 * 11 = 539/4

При x = -5/3: y = (-5/3 - 5)^2 * (2*(-5/3) + 8) = (-20/3)^2 * (-10/3 + 8) = 400/9 * (14/3) = 5600/27

Таким образом, точки экстремума функции y=(x-5)^2*(2x+8) следующие: - Минимум при x = 3/2, y = 539/4 - Максимум при x = -5/3, y = 5600/27