Question

Найти определенный интеграл. интеграл верхний 1 нижний 0 =dx/√(1-x^2)

Answer 1

(arcsinx) '  = 1/(√(1-x^2))  ->  ∫(0)(1)(1/(√(1-x^2))dx = 
∫(0)(1)d(arcsinx) = arcsinx (1) - arcsin(0) = π/2 - 0 = π/2
 

Answer 2

Для решения данного интеграла, мы можем использовать метод замены переменной. Давайте рассмотрим каждый шаг подробно.

Шаг 1: Замена переменной

Для начала, мы можем ввести новую переменную `t`, связанную с `x` следующим образом: `x = sin(t)`. Тогда, `dx = cos(t) dt`.

Шаг 2: Подстановка в интеграл

Подставим замену переменной в исходный интеграл:

∫(0 to 1) dx/√(1-x^2) = ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/√(1-sin^2(t))

Используя тригонометрическое тождество `sin^2(t) + cos^2(t) = 1`, мы можем упростить интеграл:

= ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/√(cos^2(t))

= ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/|cos(t)|

Шаг 3: Разбиение на два интеграла

Мы видим знак модуля в знаменателе. Введем два отдельных интеграла для положительных и отрицательных значений `cos(t)`:

∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/|cos(t)| = ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/cos(t) + ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/-cos(t)

Шаг 4: Вычисление интегралов

Выполним каждый интеграл по отдельности.

a) Положительный интеграл: ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/cos(t) = ∫(0 to π/2) dt = [t]_(0 to π/2) = π/2 - 0 = π/2

b) Отрицательный интеграл: ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/-cos(t) = -∫(0 to π/2) dt = -[t]_(0 to π/2) = -π/2

Шаг 5: Итоговый результат

Суммируем результаты двух интегралов:

∫(0 to 1) dx/√(1-x^2) = ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/√(1-sin^2(t)) = ∫(0 to π/2) (cos(t) dt)/|cos(t)| = π/2 - π/2 = 0

Таким образом, значение данного интеграла равно 0.