Question

В треугольнике АВС,периметр которого равен 45 см,проведена биссектриса ВМ.Найдите МС,если АВ=12 см,ВМ=15.

Answer 1

Обозначим АМ = х, МС = у.
Сторона ВС равна 45-12-х-у = 33-х-у.
Составим систему из двух уравнений.
Первое - на основе формулы длины биссектрисы, второе - на её свойстве:
{15 = √(12*(33-x-y)-x*y),
{x/12 = y/(33-x-y).
Решение этой системы даёт значение:
$MC=y= \frac{27}{38}+ \frac{21 \sqrt{149} }{38}$.
 МС ≈ 7,45625.

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой биссектрисы треугольника.

Теорема биссектрисы гласит: "Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные смежным сторонам треугольника".

В нашем случае биссектриса ВМ делит сторону АС на отрезки АМ и МС. По теореме биссектрисы, отношение АМ к МС равно отношению стороны АВ к стороне ВС.

Таким образом, мы можем записать пропорцию:

АМ/МС = АВ/ВС

Подставим известные значения:

АМ/МС = 12/ВС

Теперь найдем сторону ВС. Для этого обратимся к формуле периметра треугольника:

Периметр треугольника ABC = AB + BC + AC

Подставим известные значения:

45 = 12 + BC + AC

BC + AC = 45 - 12

BC + AC = 33

Теперь подставим это значение в пропорцию:

АМ/МС = 12/(33 - BC)

Так как ВМ = 15, то АМ + МС = 15. Заметим, что АМ + МС равно противоположной стороне АС, то есть АМ + МС = AC.

Теперь можем записать уравнение:

AC = 15

АМ + МС = AC

АМ + МС = 15

Теперь решим систему уравнений:

АМ/МС = 12/(33 - BC)

АМ + МС = 15

Подставим второе уравнение в первое:

(15 - МС)/МС = 12/(33 - BC)

Решим это уравнение:

15 - МС = 12МС/(33 - BC)

Умножим оба выражения на (33 - BC):

(15 - МС)(33 - BC) = 12МС

495 - 15BC - 33МС + BCМС = 12МС

495 = 45МС - 12BC

Теперь воспользуемся информацией, что периметр треугольника ABC равен 45 см:

AB + BC + AC = 45

12 + BC + AC = 45

BC + AC = 33

Подставим это значение в предыдущее уравнение:

495 = 45МС - 12(33 - AC)

495 = 45МС - 12*33 + 12AC

495 = 45МС - 396 + 12AC

Подставим значение AC = 15:

495 = 45МС - 396 + 12*15

495 = 45МС - 396 + 180

495 = 45МС - 216

45МС = 495 + 216

45МС = 711

МС = 711/45

МС ≈ 15.8

Таким образом, МС ≈ 15.8 см.